תת-חבורת הקומוטטורים

במתמטיקה ובמיוחד באלגברה מופשטת, תת חבורת הקומוטטורים $G^{\prime }$ של חבורה $G$ היא התת-חבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים של אברים בחבורה. תת-חבורת הקומוטטורים מודדת עד כמה החבורה היא אבלית: היא טריוויאלית אם ורק אם החבורה אבלית, ובאופן כללי יותר, המנה $G/G^{\prime }$ היא המנה האבלית הגדולה ביותר של G.

הגדרה

הקומוטטור של שני אברים g,h בחבורה G הוא, לפי ההגדרה, האיבר $[g,h]=gh{g}^{-1}{h}^{-1}$. תת-חבורת הקומוטטורים של $G$ היא החבורה הנוצרת על ידי כל האברים האלה, כלומר, $⟨[h,g]|h,g\in G⟩$.

את החבורה המתקבלת מסמנים $G^{\prime }$, או $[G,G]$. הסימון האחרון מאפשר הכללה: אם $A,B$ תת-חבורות נורמליות של G, אז $[A,B]$ היא תת-החבורה הנוצרת על ידי כל הקומוטטורים $[a,b]$ עבור $a\in A,b\in B$; גם זו תת-חבורה נורמלית, המוכלת ב- A וב- B.

תכונות

תת-חבורת הקומוטטורים היא התת-חבורה הנורמלית הקטנה ביותר כך שחבורת המנה $G/G^{\prime }$ היא אבלית: לכל תת-חבורה נורמלית $N$ של $G$, המנה $G/N$ אבלית אם ורק אם $G^{\prime }\subseteq N$. חבורת המנה $G/G^{\prime }$ נקראת האבליזציה של $G$.

מכיוון שהומומורפיזם $f:G\to H$ מעביר קומוטטור לקומוטטור, מתקיימת ההכלה $f(G^{\prime })\subset H^{\prime }$. עבור חבורות מנה, ניתן לחשב ש- $[A/N,B/N]=[A,B]N/N$ ובפרט $(G/N{)}^{\prime }=G^{\prime }N/N$.

ידוע שכל איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא "קומוטטור ארוך", מן הצורה $a_1\dots a_n{a}_1^{-1}\dots a_n^{-1}$.

הכללות

פעולת הקומוטטור מאפשרת להגדיר תת-חבורות חשובות של G, באינדוקציה: $G^{(0)}:=G$, ולכל n, $G^{(n+1)}:=[G^{(n)},G^{(n)}]$. בפרט מקצרים וכותבים $G^{\prime }=[G,G]$, $G^{″}=[G^{\prime },G^{\prime }]$ וכן הלאה. אם סדרה זו מגיעה בסופו של דבר לחבורה הטריוויאלית, אז G היא פתירה. חבורה המקיימת את השוויון $G^{\prime }=G$ נקראת חבורה מושלמת. לדוגמה, תת-חבורת הקומוטטורים של חבורת התמורות $S_n$ היא חבורת התמורות הזוגיות המתאימה, $A_n$, בעוד ש- $A_n$ מושלמת לכל $5\le n$ (מפני שהיא פשוטה ולא אבלית).

בדומה לזה, מגדירים $G_{n+1}=[G,G_n]$, כאשר $G_1:=G$. אם הסדרה הזו מגיעה ל-1, החבורה נילפוטנטית.

נוסחת קומוטטורים מוכללת היא הנוסחה $\psi =x_1$, או נוסחה מהצורה $\psi =[{\psi }^{\prime },{\psi }^{″}]$ כאשר ${\psi }^{\prime },{\psi }^{″}$ הן נוסחאות קומוטטורים מוכללות במשתנים שונים. פיליפ הול הבחין שכל נוסחה כזו שייכת לאחת משתי מחלקות, אלו המקיימות $[G_n,G_n]\subseteq \psi (G)$ (לכל חבורה G), ואלו המקיימות $\psi (G)\subseteq [G,G^{″}]$; והוכיח שבמקרה הראשון יש מספר בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\psi (G)=1$, וכולן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות; ובמקרה השני יש מספר שאינו בן-מניה של חבורות נוצרות סופית המקיימות $\psi (G)=1$, ויש ביניהן כאלה שאינן מקיימות את תנאי השרשרת העולה על תת-חבורות נורמליות.

תת-חבורות של קומוטטורים מקיימות את למת שלוש התת-חבורות: לכל שלוש תת-חבורות נורמליות $A,B,C$ של $G$, מתקיים $[A,[B,C]]\subset [B,[C,A]][C,[A,B]]$.

האורך בחבורת הקומוטטורים

בדרך כלל, אוסף הקומוטטורים עצמו אינו מהווה חבורה. האורך של איבר בתת-חבורת הקומוטטורים הוא המספר הקטן ביותר של קומוטטורים שיש להכפיל על-מנת לקבל אותו. ב-1962 הוכיח Gallagher שהאורך של איבר אינו עולה על $\lceil {\log }_4|G^{\prime }|\rceil$, וידועים גם חסמים טובים יותר (למשל האורך בחבורות מסדר < 1000 אינו עולה על 2).

המתמטיקאי Oystein Ore שיער (ב-1951) שבחבורה פשוטה סופית, כל איבר הוא קומוטטור (של שני איברים כלשהם בחבורה), והוכיח טענה זו עבור חבורת התמורות הזוגיות $A_n$. מאוחר יותר הוכיחו את ההשערה לכל חבורת לי מטיפוס $L_r(q)$, עבור $q>8$, ובסופו של דבר (2008), תוך שילוב חסמים תאורטיים וחישוביים על קרקטרים, לכל חבורה פשוטה סופית.

ראו גם

• חבורה נילפוטנטית