רדיקל של אידאל

בתורת החוגים, הרדיקל של אידאל A בחוג R הוא החיתוך של כל האידאלים הראשוניים המכילים את A. בחוג קומוטטיבי, הרדיקל כולל את כל האיברים שחזקה כלשהי שלהם שייכת ל- A, ועל-כן מסמנים את הרדיקל של A בסימון $\sqrt{A}$. הרדיקל הוא אידאל בעצמו, ותמיד $A\subseteq \sqrt{A}$.

הרדיקל של כל אידאל הוא אידאל רדיקלי, כלומר שווה לרדיקל של עצמו. כל אידאל ראשוני הוא רדיקלי, אבל ההיפך אינו נכון ($6\mathbb{\mathbb{Z}}$ רדיקלי אבל אינו ראשוני).

הקשר בין אידאלים רדיקליים של חוג הפולינומים $F[{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n]$ לבין יריעות אלגבריות הוא אחד הרעיונות היסודיים בגאומטריה אלגברית (ראו גם - משפט האפסים של הילברט).

תכונות

• אם $I,J$ אידאלים בחוג $R$ ו$I\subseteq J$, אז $\sqrt{I}\subseteq \sqrt{J}$.

• לכל שני אידאלים $I,J$ מתקיים $\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$.

דוגמאות

• בחוג השלמים, הרדיקל של האידאל $n\mathbb{\mathbb{Z}}$ נוצר על ידי הרדיקל של n: מכפלת הראשוניים השונים המחלקים את n. לדוגמה, $\sqrt{180\mathbb{\mathbb{Z}}}=30\mathbb{\mathbb{Z}}$. מושג הרדיקל של אידאל מכליל, לפיכך, את הרדיקל של מספרים שלמים.

• לכל חוג $R$, הרדיקל של $(x^2)$ בחוג הפולינומים $R[x]$ הוא $(x)$.