הקבוצה הנגזרת

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה, הקבוצה הנגזרת של קבוצה A במרחב טופולוגי היא קבוצת כל נקודות ההצטברות שלה; מקובל לסמן את הקבוצה הנגזרת ב- $A^{\prime }$. את המושג הגדיר גאורג קנטור ב-1872. במידה רבה, הוא פיתח את תורת הקבוצות כדי ללמוד את הנגזרות של קבוצות בישר הממשי.

תכונות

הסגור של קבוצה A במרחב טופולוגי X שווה לאיחוד $\bar{A}=A\cup A^{\prime }$, ולכן A סגורה אם ורק אם $A^{\prime }\subseteq A$. הקבוצה A נקראת קבוצה מושלמת, אם $A=A^{\prime }$: הקבוצות המושלמות הן קבוצות סגורות, ללא אף נקודה מבודדת.

"קבוצה דקה" (meager set) היא קבוצה שאפשר להציג כאיחוד של קבוצות בעלות נגזרת ריקה.

הנגזרת קובעת את הטופולוגיה

מקובל להגדיר ששני מרחבים טופולוגיים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית מהראשון על משנהו, המעבירה את הקבוצות הפתוחות מן המרחב הראשון אל הקבוצות הפתוחות בשני. באופן שקול לזה, שני מרחבים הם הומיאומורפיים אם יש העתקה חד-חד-ערכית f מהראשון על משנהו, כך שמתקיים $f(A^{\prime })=f(A{)}^{\prime }$ לכל קבוצה A.

אפשר לאפיין את הטופולוגיה של המרחב באמצעות הקבוצות הנגזרות. כאופרטור מתת-קבוצות לתת-קבוצות של המרחב, הנגזרת מקיימת את התכונות הבאות:

1. ${\mathrm{\varnothing }}^{\text{'}}=\mathrm{\varnothing }$
2. $S^{{\text{'}}^{\prime }}\subseteq S^{\text{'}}$
3. $a\in S^{\text{'}}\to a\in (S\setminus \{a\}{)}^{\text{'}}$
4. $(S\cup T{)}^{\text{'}}\subseteq S^{\text{'}}\cup T^{\text{'}}$
5. $S\subseteq T\to S^{\text{'}}\subseteq T^{\text{'}}$;

ובהינתן אופרטור כזה, אפשר לשחזר ממנו את הטופולוגיה, אם נבחין שקבוצה U היא פתוחה אם ורק אם היא זרה לנגזרת $(U^c{)}^{\prime }$ של הקבוצה המשלימה.

דרגת קנטור-בנדיקסון

לכל מספר סודר $\alpha$ אפשר להגדיר את נגזרת קנטור-בנדיקסון מסדר $\alpha$ של מרחב טופולוגי X, באינדוקציה טרנספיניטית:

• $X^0=X$.
• $X^{\alpha +1}=(X^{\alpha }{)}^{\prime }$.
• $X^{\alpha }=\bigcap _{\beta <\alpha }{X}^{\beta }$ לכל סודר גבולי $\alpha$.

סדרת הנגזרות של כל מרחב נתון מוכרחה לעצור בסופו של דבר, והסודר הקטן ביותר שעבורו $X^{\alpha +1}=X^{\alpha }$ נקרא דרגת קנטור-בנדיקסון של המרחב. המרחבים המושלמים הם אלו שהדרגה שלהם היא 0.

ראו גם

• משפט קנטור-בנדיקסון