התפלגות רב-נורמלית

בתורת ההסתברות, התפלגות רב-נורמלית, או התפלגות גאוסיאנית רב-ממדית, (באנגלית: Multivariate normal distribution) היא הכללה של התפלגות נורמלית למשתנים מקריים רב-ממדיים. היא מוגדרת בתור וקטור משתנים מקריים, שכל צירוף לינארי שלו מתפלג נורמלית. ישנה גם הגדרה (כללית יותר) בשפה של פונקציות אופייניות (הקובעת את המשתנה).

להתפלגות רב-נורמלית מספר שימושים, כגון הוכחת טענות על התפלגות הממוצע וסטיית התקן של משתנים מקריים שווי התפלגות נורמלית; טענות אלו שימושיות במיוחד בסטטיסטיקה. ניתן גם לנסח את משפט הגבול המרכזי בגרסה רב-ממדית בעזרת התפלגות רב-נורמלית.

הגדרה

יהי $X=(X_1,\dots ,X_n)$ וקטור משתנים מקריים ממשיים. נאמר ש-$X$ מתפלג רב-נורמלית (או גאוסיאנית) אם לכל $a_1,\dots ,a_n\in \mathbb{ℝ}$ המשתנה המקרי (החד ממדי) $⟨\overline{a},\overline{X}⟩=a_1{X}_1+\dots +a_n{X}_n$ מתפלג נורמלית, כלומר קיימים $\mu ,\sigma$ (תלויים ב-$a_i$) כך ש-$⟨\overline{a},\overline{X}⟩\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$.

אם $X$ משתנה רב-נורמלי, מסמנים $X\sim N(\overline{\mu },V)$ כאשר $\overline{\mu }$ הוא וקטור התוחלות, ו-$V$ היא מטריצת השונויות המשותפות - $V_{i,j}=\mathrm{Cov}(X_i,X_j)$

תכונות

הפונקציה האופיינית

ניתן לאפיין את המשתנים המקריים הגאוסיאניים על בעזרת הפונקציה האופיינית שלהם: וקטור משתנים מקריים הוא גאוסיאני אם ורק אם הוא בעל פונקציה אופיינית:

${\phi }_X(\overline{a})=e^{i⟨\overline{\mu },\overline{a}⟩-\frac{1}{2}\overline{a}V{\overline{a}}^t}$

מטריצה השונויות $V$ היא חיובית.

בפרט, נובע שהמשתנים המקריים בלתי מתואמים אם ורק אם הם בלתי תלויים (מה שלא נכון באופן כללי).

לכסון

לכל משתנה מקרי רב-נורמלי $X$ קיימים משתנה מקרי $Y$ ומטריצה אורתוגונלית $A$ כך ש-$X=\overline{\mu }+YA$, כאשר $Y_i\sim N(0,{\lambda }_i)$ ו-${\lambda }_i$ הם הערכים עצמיים של $V$ (מטריצת השונויות המשותפות).

בכיוון ההפוך, לכל משתנה מקרי רב-נורמלי $X$ ולכל מטריצה אורתוגונלית $A$, המשתנה המקרי $AX$ גם הוא רב נורמלי: $Y\sim N(A\mu ,V)$.

כדי להוכיח משפט זה, יש להפעיל לכסון אורתוגונלי על $V$ (בפרט, המטריצה $A$ נבחרת להיות המטריצה המלכסנת).

פונקציית צפיפות

כאשר מטריצת השונויות $V$ איננה מטריצה סינגולרית - כלומר כל ערכיה העצמיים ${\lambda }_i$ שונים מאפס, למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות, הנתונה על ידי הנוסחא:

$f_X(\overline{x})=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^n|V|}}{e}^{-\frac{1}{2}(\overline{x}-\overline{\mu })V^{-1}(\overline{x}-\overline{\mu }{)}^t}$

התפלגות רב-נורמלית סינגולרית

בדרך כלל מניחים כי מטריצת השונויות $V$ איננה מטריצה סינגולרית. כאמור, במקרה זה למשתנה הרב-נורמלי יש פונקציית צפיפות.

עם זאת, כאשר מורידים את ההנחה האחרונה (כלומר, יש ערכים עצמיים אפס), מתקבל משתנה מקרי רב-נורמלי סינגולרי. ההגדרה בעזרת הפונקציה האופיינית היא כללית יותר (כלומר, תקפה גם במקרה הסינגולרי). במקרה זה אין פונקציית צפיפות (ביחס למידת לבג) - ערכיה כל פונקציית צפיפות ייקבעו על ידי פחות מ-$n$ משתנים, ואינטגרל של פונקציה כזו הוא אפס ולא 1, כנדרש מפונקציית צפיפות.

בכל זאת, ניתן להגדיר מידות אחרות (על תת-מרחב $\mathrm{rank}(V)$-ממדי של ${\mathbb{ℝ}}^n$) ואז מוגדרת פונקציית צפיפות עבור משתנה מקרי ביחס למידה החדשה.

יישומים

בעזרת התפלגות רב-נורמלית, ניתן להוכיח תוצאות חשובות בסטטיסטיקה.

למשל, אם $X_1,X_2,\dots$ משתנים מקריים בלתי תלויים המתפלגים $N(0,1)$, נסמן ${\overline{X}}_n=\frac{X_1+\dots +X_n}{n}$ ו-$S_n=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-{\overline{X}}_n^2)$. אז מתקיים ${\overline{X}}_n/\sqrt{\frac{S_n}{n}}\sim t_{n-1}$, כלומר מתפלג סטודנט עם $n-1$ דרגות.