פונקציית מביוס

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, פונקציית מביוס, המסומנת $\mu (n)$ היא פונקציה אריתמטית שהוצגה לראשונה על ידי אוגוסט פרדיננד מביוס. הפונקציה מוגדרת על המספרים הטבעיים והיא תלויה רק בפירוק לגורמים של המספר שעליו היא פועלת. לפונקציה שימושים בתורת המספרים ובקומבינטוריקה, ויש לה גרסאות מוכללות (המוגדרות על קבוצה סדורה).

הגדרה פורמלית

עבור 1 מוגדר $\mu (1)=1$. כל מספר אחר $n$ ניתן להצגה כמכפלה של גורמים ראשוניים: $n=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_r^{e_r}$ (החזקות גדולות מ-0).

אם מתקיים $e_1=e_2=\dots =e_r=1$ אז $\mu (n)={(-1)}^r$.

אחרת $\mu (n)=0$.

במילים: אם המספר ניתן להצגה כמכפלה של גורמים ראשוניים זרים זה לזה, מבלי שאף גורם ראשוני יופיע במכפלה יותר מפעם אחת, הפונקציה מחזירה 1 אם מספר הגורמים זוגי, ומחזירה 1- אם מספר הגורמים אי זוגי. אם המספר לא ניתן להצגה שכזו (ופירוש הדבר הוא שהוא מתחלק בריבוע של מספר אחר), הפונקציה מחזירה 0.

עבור 0 הפונקציה אינה מוגדרת בדרך כלל.

דוגמאות

הערכים שעבורם הפונקציה מחזירה 0 (כאמור, אלו בדיוק הערכים שמתחלקים על ידי ריבוע כלשהו) הם:

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,...

עבור כל מספר ראשוני הפונקציה תחזיר 1-. כמו כן היא תחזיר 1- עבור כל מספר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים זרים. המספרים הללו הם:

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222,...

(וכאמור באופן כללי היא תחזיר 1- עבור כל מספר שהוא מכפלה של מספר אי זוגי של ראשוניים זרים.)

עבור מספרים המורכבים ממכפלה של מספר זוגי של מספרים ראשוניים הפונקציה תחזיר 1, למשל:

6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 39, 51, 55, 65, 77, 85, 91, 143, 187, 210...

50 הערכים הראשונים של $\mu (n)$

שימושים

שימוש בולט של פונקציית מביוס הוא בנוסחת ההיפוך של מביוס, הנובעת מהיותה של פונקציית מביוס האיבר ההופכי לפונקציה $f(n)\equiv 1$ ביחס לקונבולוציית דיריכלה.

הכללה

אם X היא קבוצה עם יחס סדר חלש, פונקציית מביוס של הקבוצה מוגדרת לפי השוויון $\mu (x,y)=[X{]}_{a,b}^{-1}$, כאשר המטריצה $[X]$ מתארת את היחס: $[X{]}_{a,b}=1$ אם $a\le b$, ו- $[X{]}_{a,b}=0$ אחרת. עבור המספרים הטבעיים עם יחס החילוק, מתקבלת פונקציית מביוס הרגילה.

קישורים חיצוניים

• 
  שגיאות פרמטריות בתבנית:לא מדויק
  פרמטרי חובה [ 2 ] חסרים גדי אלכסנדרוביץ', {{{2}}}, באתר "לא מדויק",
• פונקציית מביוס, באתר MathWorld (באנגלית)