קבוע ארדש-בורוויין

קבוע ארדש-בורוויין (על שם המתמטיקאים פאול ארדש ופיטר בורוויין) הוא סכום המספרים ההופכיים של מספרי מרסן.

לפי הגדרתו, קבוע ארדש-בורוויין הוא

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}\approx 1.606695152415291763\dots$

קבוע ארדש-בורוויין ניתן להצגה גם בצורות הבאות:

$\begin{array}{rl}E& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}\\ & =\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{mn}}\\ & =1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n(2^n-1)}\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_0(n)}{2^n}\end{array}$

כאשר ${\sigma }_0(n)$ היא פונקציית המחלקים הסופרת את מספר המחלקים של $n$ . ארדש הראה ב-1948 כי הקבוע הוא מספר אי-רציונלי.