יחס הכסף
יחס הכסף הוא כינוי[1] לקבוע המתמטי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1+\sqrt{2}} שערכו המקורב הוא 2.4142135623....
סימולו המתמטי המקובל הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{Ag}} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{S}} .
הגדרה והצגה
יחס הכסף מהווה פתרון למשוואה הריבועית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2-2x-1=0} .
- ניתן להציג את יחס הכסף כסכום של אחת ועוד שורש שתיים:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{Ag} = 1+\sqrt{2} \approx 2.4142135623...\, }
- כך שמתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\delta_{Ag}-1)^2=2\, }
- ניתן להציגו גם כ- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{Ag} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} }
- הגדרה נוספת של יחס הכסף היא השבר המשולב האינסופי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{Ag} = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\, . }
יחס הכסף וסדרת פל
יחס הכסף נקרא בשם זה באנלוגיה ליחס הזהב המוכר יותר. לשני היחסים תכונות רבות משותפות (ראו בהמשך). אחת מהן היא היחס בין איברי סדרה מספרית: כפי שיחס הזהב מהווה את קירוב היחס בין שני מספרי פיבונאצ'י עוקבים, כך יחס הכסף מהווה את היחס בין שני איברי סדרת פל עוקבים.
סדרת פל היא סדרה שתחילתה במספרים 0 ו-1, וכל איבר נוסף בה הוא סכום של פעמיים האיבר הקודם לו ושל האיבר שלפני הקודם. כך למשל, האיבר הרביעי בסדרה הוא 5 – פעמיים המספר 2 ופעם אחת המספר 1.
תחילתה של סדרת פל היא המספרים: 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, ...
באיבר התשיעי, הקירוב הוא:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{985}{408}=2.4142\approx 1+\sqrt{2}}
תכונות מתמטיות של יחס הכסף
- חזקות יחס הכסף ניתנות להבעה באמצעות איברי סדרת פל בצורה הבאה:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ \delta_{Ag}^n = K_n\delta_{Ag} + K_{(n-1)} }
- כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \!\ K_n = 2 K_{(n-1)} + K_{(n-2)} } הוא האיבר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} -י בסדרת פל:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} & \delta_{Ag}^0 = 1 \\ & \delta_{Ag}^1 = \delta_{Ag} + 0 \\ & \delta_{Ag}^2 = 2\delta_{Ag} + 1 \\ & \delta_{Ag}^3 = 5\delta_{Ag} + 2 \\ & \delta_{Ag}^4 = 12\delta_{Ag} + 5 \end{align} }
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle \cot \frac {\pi}{8} = \cot 22.5^\circ = 1+\sqrt{2} = \delta_{Ag} }
יחס הכסף, מלבני כסף ומתומנים
בשם "מלבני כסף" מכונים מלבנים משני סוגים:
- מלבנים שהיחס בין צלעותיהם הוא יחס הכסף; כלומר, 2.414 בקירוב
- מלבנים שהיחס בין צלעותיהם הוא השורש הריבועי של 2; כלומר, 1.414 בקירוב. דפי נייר המוגדרים בתקן ISO 216, כמו A4, הם דמויי מלבן זה.
למלבני הכסף תכונה דומה ל"מלבני זהב", בהם הסרת ריבוע מהמלבן יוצרת מלבן זהב נוסף, אלא שקיים שוני ביניהם:
- הסרת ריבוע ממלבן כסף מהסוג הראשון תביא ליצירת מלבן כסף מהסוג השני.
- הסרת ריבוע מהסוג השני של מלבני הכסף תביא ליצירת מלבן כסף מהסוג הראשון.
קל לראות זאת במלבן שרוחבו יחידה ואורכו שווה ליחס הכסף – הסרת ריבוע תותיר מלבן שרוחבו יחידה ואורכו שווה לשורש 2. תכונה זו נובעת מהעובדה, שניתן להציג את יחס הכסף הן כאחת ועוד שורש שתיים והן כ-
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{Ag} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} }
במתומנים, ניתן לחלק מתומן משוכלל לשלושה חלקים – 2 טרפזים שווים בגודלם ומלבן. המלבן הוא מלבן כסף מהסוג הראשון, ואילו בטרפזים, היחס בין הבסיס הגדול לבסיס הקטן ולצלעות (השוות בגודלן) הוא יחס הכסף. שטחו של מתומן זה, שצלעו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t } , שווה לפעמיים יחס הכסף, כשהוא מוכפל בריבוע הצלע: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2(1+\sqrt{2})t^2} .
הקשר בין יחס הכסף ליחס הזהב
| קבועי הכסף | ||
| 0: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{0+\sqrt{4}}{2}} | 1 |
| 1: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}} | 1.618033989 |
| 2: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{2+\sqrt{8}}{2}} | 2.414213562 |
| 3: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{3+\sqrt{13}}{2}} | 3.302775638 |
| 4: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{4+\sqrt{20}}{2}} | 4.236067978 |
| 5: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{5+\sqrt{29}}{2}} | 5.192582404 |
| 6: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{6+\sqrt{40}}{2}} | 6.162277660 |
| 7: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{7+\sqrt{53}}{2}} | 7.140054945 |
| 8: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{8+\sqrt{68}}{2}} | 8.123105626 |
| 9: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{9+\sqrt{85}}{2}} | 9.109772229 |
| ... | ||
| n: | הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}} | |
תכונה מעניינת קושרת בין שני היחסים: בתבנית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}} , שהיא למעשה הפתרון של המשוואה הריבועית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-nx-1=0} , יחס הזהב מתקבל עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=1} ואילו יחס הכסף עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2} . יחסים נוספים מובאים בטבלה משמאל. יחסים אלה נקראים "ממוצעים מטאליים" ("Metallic means").[2]
יחסים אלה שווים גם לשבר המשולב האינסופי:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{n + \cfrac{1}{\ddots\,}}}} \, }
ליחסים בטבלה משמאל תכונות משותפות רבות. היחס השלישי, למשל, (3.30277), הנקרא גם יחס הארד,[3] הוא היחס בין איברי הסדרה ...1,1,4,13,43,142,469, שכל איבר בה הוא סכום של שלוש פעמים קודמו, ועוד האיבר הקודם לקודמו.
ראו גם
לקריאה נוספת
- Antonia Redondo Buitrago, 2007. Polygons, Diagonals, and the Bronze Mean, Nexus Network Journal, Volume 9, Issue 2, p. 321-326
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ^ Silver Ratio, Wolfram > MathWorld website
- ^ Vera W. de Spinadel, The Metallic Means and Design, Nexus Network Journal website, 1998
- ^ Constantine Dumitrescu & Vasile Seleacu, 1997. Proceedings of the First International Conference on Smarandache Type Notions in Number Theory, American Research Press
| מספרים אי-רציונליים נודעים | ||
|---|---|---|
| מספרים אלגבריים | 2√ • 3√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δAg • היחס הפלסטי 𝜌 | 
|
| מספרים טרנסצנדנטיים | בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל | |
| מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הם אלגבריים או טרנסצנדנטיים |
קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין | |
| טריגונומטריה | קבועים טריגונומטריים מדויקים | |
