קבוע גאוס
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
במתמטיקה, קבוע גאוס (מצוין באות G) מוגדר כהופכי של הממוצע האריתמטי-גאומטרי של 1 והשורש הריבועי של 2:
- $ G={\frac {1}{\mathrm {agm} (1,{\sqrt {2}})}}=0.8346268\dots . $
הקבוע נקרא על שמו של קרל פרידריך גאוס, אשר גילה ב-30 במאי 1799 כי:
- $ G={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}} $
כך שמתקיים:
- $ G={\frac {1}{2\pi }}\beta \left({\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}}\right) $
כאשר β מציינת את פונקציית בטא.
טרנסצנדנטיות
קבוע גאוס יכול לשמש להצגת פונקציית גמא עבור הארגומנט ¼:
- $ \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)={\sqrt {2G{\sqrt {2\pi ^{3}}}}} $
כיוון ש-$ \pi $ ו-$ \Gamma ({\tfrac {1}{4}}) $ הם בלתי תלויים אלגברית קבוע גאוס הוא מספר טרנסצנדנטי.
ייצוגים אחרים
ניתן להציג את קבוע גאוס באמצעות פונקציית תטא של יעקובי באופן הבא:
- $ G=\vartheta _{01}^{2}(e^{-\pi }) $
ניתן להציגו גם כסדרה מתכנסת:
- $ G={\sqrt[{4}]{32}}e^{-{\frac {\pi }{3}}}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}e^{-2n\pi (3n+1)}\right)^{2}. $
וכן כמכפלה אינסופית:
- $ G=\prod _{m=1}^{\infty }\tanh ^{2}\left({\frac {\pi m}{2}}\right). $
ייצוגים נוספים של קבוע גאוס באמצעות אינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות ופונקציות היפרבוליות:
- $ G=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\sin(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\cos(x)}}\,\mathrm {d} x $
- $ {\frac {1}{G}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\cosh(\pi x)}}} $
קישורים חיצוניים
- קבוע גאוס, באתר MathWorld (באנגלית)
- קבוע גאוס באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים
מספרים אי-רציונליים נודעים | ||
---|---|---|
מספרים אלגבריים | 2√ • 3√ • יחס הזהב 𝜑 • יחס הכסף δAg • היחס הפלסטי 𝜌 | ![]() |
מספרים טרנסצנדנטיים | בסיס הלוגריתם הטבעי 𝑒 • פאי 𝜋 • קבוע גאוס • קבוע אומגה Ω • קבוע ליוביל | |
מספרים אי-רציונליים, שלא ידוע האם הם אלגבריים או טרנסצנדנטיים |
קבוע אפרי (3)ζ • קבוע ארדש-בורוויין | |
טריגונומטריה | קבועים טריגונומטריים מדויקים |
קבוע גאוס28842900Q1248689