אי-שוויון הלדר

אי-שוויון הלדר הוא אי-שוויון יסודי באנליזה מתמטית ובמיוחד באנליזה פונקציונלית, המהווה הכללה משמעותית של אי-שוויון קושי-שוורץ, ומשמש כדי להוכיח את אי-שוויון מינקובסקי.

אי-השוויון התגלה על ידי המתמטיקאי הבריטי לאונרד ג'יימס רוג'רס בשנת 1888, ובאופן בלתי-תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר בשנת 1889.

ניתן להוכיח את אי-השוויון באמצעות אי-שוויון יאנג או באמצעות אי-שוויון ינסן.

אי-השוויון

המקרה הכללי ביותר של אי-השוויון הוא במרחבי מידה: יהי $(X,\sigma ,\mu )$ מרחב מידה. עבור קבוע $r\in \mathbb{ℝ}$ לכל $f:X\to \mathbb{ℂ}$ נהוג לסמן:

$$\Vert f{\Vert }_r\equiv {(\underset{X}{\int }|f{|}^{r}d\mu )}^{\frac{1}{r}}$$

יש לשים לב שביטוי זה מגדיר נורמה רק אם $f\in L^r(\mu )$ (כלומר $\int f^r<\mathrm{\infty }$).

אי-השוויון קובע שלכל $p,q\in [1,\mathrm{\infty }]$ המקיימים $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ , לכל זוג פונקציות מדידות $f,g:X\to \mathbb{ℂ}$ מתקיים כי

$$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q$$

אם מתקיים בנוסף כי $p,q\in (1,\mathrm{\infty })$ וכן גם $f\in L^p(\mu ),g\in L^q(\mu )$ , אז אי-השוויון הוא שוויון אם ורק אם $|f{|}^p,|g{|}^q$ תלויות לינארית במרחב $L^1(\mu )$ , כלומר קיים $c\ge 0$ עבורו $|f{|}^p=c\cdot |g{|}^q$ כמעט תמיד ביחס ל-$\mu$ .

מקרים פרטיים חשובים

ניתן עוד לראות כי אי-השוויון מתקיים גם לסדרות, ביחס למרחבי מידה מתאימים:

$$\sum _{i=1}^n{a}_i^{\alpha }\cdot b_i^{\beta }\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^{\alpha }\cdot {\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)}^{\beta }$$

עבור $a_i,b_i,\alpha ,\beta \ge 0$ כאשר $\alpha +\beta =1$ .

באינדוקציה ניתן להכליל את אי-שוויון הלדר עבור מספר כלשהו של סדרות, למשל:

$$\sum _{i=1}^n{a}_i^{\alpha }\cdot b_i^{\beta }\cdot c_i^{\gamma }\le {\left(\sum _{i=1}^n{a}_i\right)}^{\alpha }\cdot {\left(\sum _{i=1}^n{b}_i\right)}^{\beta }\cdot {\left(\sum _{i=1}^n{c}_i\right)}^{\gamma }$$

כאשר $\alpha +\beta +\gamma =1$ וגם $\alpha ,\beta ,\gamma \ge 0$ .

כאשר $\alpha =\beta =\frac{1}{2}$ מתקבל אי-שוויון קושי-שוורץ: ${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right)}^{\frac{1}{2}}\ge \sum _{i=1}^n(a_i^2{)}^{\frac{1}{2}}\cdot (b_i^2{)}^{\frac{1}{2}}$ ולכן סה"כ $\sum _{i=1}^n{a}_i^2\cdot \sum _{i=1}^n{b}_i^2\ge {(\sum _{i=1}^n|a_i{b}_i|)}^2$

הוכחה

נשים לב שלכל $x,y\ge 0$ מתקיימת הטענה $x^{\alpha }\cdot y^{\beta }\le \alpha x+\beta y$ . זאת ניתן להוכיח בעזרת אי-שוויון ינסן שהרי $\log$ פונקציה קעורה ולכן $\alpha \log (x)+\beta \log (y)\le \log (\alpha x+\beta y)$ .

כעת נסמן $S_a=\sum _{i=1}^n{a}_i,S_b=\sum _{i=1}^n{b}_i$ ולפי הטענה הנ"ל מתקיים

$$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{a_i}{S_a}\right)}^{\alpha }\cdot {\left(\frac{b_i}{S_b}\right)}^{\beta }\le \sum _{i=1}^n(\alpha \cdot \frac{a_i}{S_a})+\sum _{i=1}^n(\beta \cdot \frac{b_i}{S_b})=\alpha +\beta =1$$

נכפיל את שני האגפים ב־$S_a^{\alpha }\cdot S_b^{\beta }$ ונקבל את אי-השוויון הרצוי $\sum _{i=1}^n{a}_i^{\alpha }\cdot b_i^{\beta }\le S_a^{\alpha }\cdot S_b^{\beta }$ .

הוכחה דומה ניתן לספק עבור פונקציות חיוביות והאינטגרלים שלהן במקום סדרות חיוביות והסכום שלהן.