היחס הפלסטי

היחס הפלסטי או המספר הפלסטי (אנגלית: Plastic number או plastic constant) הוא המספר האי-רציונלי

$\psi =\frac{\sqrt[3]{108+12\sqrt{69}}+\sqrt[3]{108-12\sqrt{69}}}{6}\approx 1.324718\dots$

לעיתים מסומן גם $\rho$ . היחס הוא הפתרון הממשי היחיד של המשוואה ממעלה שלישית

$x^3=x+1$

תכונות מתמטיות

היחס הפלסטי שווה לשורש החוזר

$\psi =\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\cdots }}}$

תכונות בסדרות שלמים

המספר הפלסטי הוא המספר אליו שואף היחס בין שני איברים עוקבים בסדרת פאדובן (...1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,49)

ובסדרת פרין (,...,0,2,3,2,5,5,7,10,12,17,22,29,39), ובכך הוא מקביל ליחס הזהב בסדרת פיבונאצ'י ובסדרות מקבילות.

בסדרת פרין כל איבר $P(n)$ , החל מהאיבר העשירי בערך, שואף ליחס הפלסטי בחזקת מספרו הסידורי של האיבר בסדרה:

$P(n)\approx {\psi }^n$

כך למשל היחס הפלסטי בחזקת 16 שואף לאיבר ה-16 בסדרת פרין, שערכו 90. בתכונה זו מזכיר היחס הפלסטי את תכונתו של יחס הזהב, שחזקות שלו הן קירוב טוב לסדרת מספרי לוקאס.

היחס הוא גם פתרון של המשוואה

${\psi }^5={\psi }^2+\psi +1$

היסטוריה

הנזיר ההולנדי האנס ואן דר לאן (Hans van der Laan) הוא שנתן ליחס הפלסטי את שמו ב-1928, אך הראשון שחקר את תכונותיו היה הצרפתי ז'ראר קורדונייה (Gérard Cordonnier) (1907-1977),ב-1924. ואן דר לאן (1904-1991), שהיה גם ארכיטקט, התייחס בעיקר לתכונותיו האסתטיות של המספר, וטען כי היחס, או הקירוב שלו, 4/3, הוא אחת מאמות המידה לתפיסה של גודלם השונה של עצמים תלת ממדיים.

קישורים חיצוניים

• [1], קרן ואן דר לאן