אבולוט

אוולוט של אליפסה הוא אסטרואידה מתוחה בציר המשני של האליפסה

בגאומטריה דיפרנציאלית, בהינתן עקומה במישור $\gamma :[0,L]\to \mathbb {R} ^{2}$ בפרמטריזציה טבעית, אֵווֹלוּט (Evolute) מוגדר כמקום הגאומטרי של כל מרכזי העקמומיות שלה.

נוסחת האוולוט היא:

${\vec {E}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+R(s){\vec {n}}(s)={\vec {\gamma }}(s)+{\frac {1}{k(s)}}{\vec {n}}(s)$

כאשר

• $k$ היא עקמומיות העקומה $\gamma$ – המתקבלת לפי משוואות פרנה מתוך ${\frac {d{\vec {v}}}{ds}}={\vec {v}}'(s)=k(s){\vec {n}}(s)$ , או בנוסחה מפורשת $k(s)={\bigl \langle }{\vec {\gamma }}''(s),{\vec {n}}(s){\bigr \rangle }$
• $R(s)={\frac {1}{k(s)}}$ הוא רדיוס העקמומיות
• ${\vec {n}}(s)$ הוא וקטור יחידה הניצב לוקטור המשיק לעקומה ${\vec {v}}(s)={\vec {\gamma }}'(s)$ ויוצר עמו בסיס אורתונורמלי בעל אוריינטציה חיובית.

אנליטית, ניתן לתאר את האוולוט כתמונה הסינגולרית של ההעתקה

$(\tau ,s)\longmapsto {\vec {F}}(\tau ,s)={\vec {\gamma }}(s)+\tau {\vec {n}}(s)$

במקום זה, המתקבל עבור $\tau ={\frac {1}{k(s)}}$ , הנורמלים בנקודות קרובות אינפיניטסימלית נחתכים ולכן $(\tau ,s)$ לא מהווים מערכת קואורדינטות מוגדרת היטב. מכאן נובע כי האוולוט הוא מעטפת כל הנורמלים לעקומה^{[דרושה הבהרה]}.

משפט שימושי לחישוב אורך של קשת (רגולרית ובלי קודקודים, כלומר: $k(s),k'(s)\neq 0$) על האוולוט טוען שאורך הקשת שווה להפרש רדיוסי העקמומיות בנקודות הקצה:

$\int \limits _{s_{1}}^{s_{2}}|E'(s)|ds=\int \limits _{s_{1}}^{s_{2}}\left|\left({\frac {d}{ds}}R'(s)\right){\vec {n}}(s)\right|ds=\int \limits _{s_{1}}^{s_{2}}|R'(s)|ds={\bigg |}\int \limits _{s_{1}}^{s_{2}}R'(s)ds{\bigg |}={\bigl |}R(s_{2})-R(s_{1}){\bigr |}$

כאשר המעבר הלפני האחרון נעשה מאחר ו־$R$ היא פונקציה מונוטונית (עולה או יורדת) של $s$ בקשת רגולרית,

${{\vec {E}}'(s)=\gamma '(s)+R'(s){\vec {n}}(s)+R(s){\vec {n}}'(s)={\vec {v}}(s)+R'(s){\vec {n}}(s)-R(s)k(s){\vec {v}}(s)=R'(s){\vec {n}}(s)}$

לפי משוואות פרנה.

הדיון הראשון באוולוט נמצא בכרך ה־5 של הספר "חרוטים" ("Conics") מאת אפולוניוס מפרגה (בסביבות 200 לפס"נ), אך מי שנחשב לראשון שלמד אותם בצורה יסודית הוא כריסטיאן הויגנס (1673).

קישורים חיצוניים

• אבולוט, ב-MathWorld של אריק ויינשטיין
• Yates, R. C.: A Handbook on Curves and Their Properties, J. W. Edwards (1952), "Evolutes." pp. 86ff
• Evolute on 2d curves.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0