תרבוע העיגול

תרבוע העיגול הוא בעיה בגיאומטריה שהועלתה לראשונה במתמטיקה היוונית, אחת מהבעיות הגאומטריות של ימי קדם. זה האתגר של יצירת ריבוע ששטחו שווה לשטח של מעגל, על ידי שימוש רק במספר סופי של צעדים עם סרגל ומחוגה. הקושי שבבעיה העלה את השאלה האם אקסיומות מוגדרות של גיאומטריה אוקלידית הנוגעות לקיומם של קווים ומעגלים מרמזות על קיומו של ריבוע כזה.

בשנת 1882, הוכח שהמשימה בלתי אפשרית, כתוצאה ממשפט לינדמן-ויירשטראס, המוכיח ש- pi ( $\pi$ ) הוא מספר טרנסצנדנטלי. כלומר, $\pi$ אינו יכול להיות מיוצג על ידי השורש של פולינום כלשהו עם מקדמים רציונליים. במשך עשרות שנים היה ידוע שהמשימה בלתי אפשרית אם $\pi$ הייתה טרנסצנדנטלית, אך עובדה זו לא הוכחה עד 1882.

למרות ההוכחה שזה בלתי אפשרי, ניסיונות לתרבוע העיגול היו נפוצים בפסאודו-מתמטיקה. הביטוי "תרבוע העיגול" משמש לעיתים כמטאפורה לניסיון לעשות את הבלתי אפשר.

היסטוריה

שיטות לחישוב השטח המשוער של מעגל נתון, שניתן לחשוב עליה כעל בעיה מקדימה לתרבוע העיגול, היו ידועות כבר בתרבויות עתיקות רבות. ניתן לסכם את השיטות הללו על ידי ציון הקירוב ל- π שהן מייצרות. בסביבות שנת 2000 לפני הספירה, המתמטיקאים הבבלים השתמשו בקירוב $\pi \approx {\tfrac {25}{8}}=3.125$, ובערך באותו זמן השתמשו המתמטיקאים המצרים הקדמונים ב- $\pi \approx {\tfrac {256}{81}}\approx 3.16$. למעלה מ-1000 שנים מאוחר יותר, בספר מלכים מופיע הקירוב הפשוט יותר, $\pi \approx 3$.$\mathbb {R}$מתמטיקה הודית עתיקה, כפי שתועדה ב- Shatapatha Brahmana ו- Shulba Sutras, השתמשה במספר קירובים שונים to $\pi$.$\mathbb {R}$ ארכימדס הוכיח נוסחה לשטח המעגל, לפיה $3\,{\tfrac {10}{71}}\approx 3.141<\pi <3\,{\tfrac {1}{7}}\approx 3.143$. במתמטיקה הסינית, במאה השלישית לספירה, ליו הואי מצא קירובים מדויקים אף יותר באמצעות שיטה דומה לזו של ארכימדס, ובמאה החמישית מצא צו צ'ונגז'י $\pi \approx 355/113\approx 3.141593$, קירוב המכונה Milü.

הבעיה של בניית ריבוע ששטחו הוא בדיוק של מעגל, ולא קירוב אליו, מגיעה מהמתמטיקה היוונית. מתמטיקאים יוונים מצאו מיבני סרגל ומחוגה כדי להמיר כל מצולע לריבוע בעל שטח שווה ערך. הסיבה שהם השתמשו בבנייה זו הייתה כדי להשוות שטחים של מצולעים מבחינה גיאומטרית, ולא על ידי חישוב מספרי של שטח שיהיה אופייני יותר במתמטיקה המודרנית.

ג'יימס גרגורי ניסה להוכיח לחוסר האפשרות להפוך מעגל לריבוע ב- Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (הריבוע האמיתי של המעגל ושל ההיפרבולה) ב-1667. למרות שההוכחה שלו הייתה שגויה, זה היה המאמר הראשון שניסה לפתור את הבעיה באמצעות מאפיינים אלגבריים של $\pi$. יוהאן היינריך למברט הוכיח ב-1761 כי $\pi$ הוא מספר אי-רציונלי. רק ב-1882 הצליח פרדיננד פון לינדמן להוכיח ביתר שאת ש- π הוא מספר טרנסצנדנטי, ועל ידי כך גם הוכיח את חוסר האפשרות לתרבוע המעגל עם סרגל ומחוגה.

הוכחה

הפתרון של בעיית תרבוע העיגול על ידי סרגל ומחוגה מחייב בניית המספר ${\sqrt {\pi }}$, אורך הצלע של ריבוע ששטחו שווה לזה של מעגל היחידה. אם ${\sqrt {\pi }}$ היה מספר הניתן לבנייה, ממילא נובע מקונסטרוקציות סטנדרטיות של סרגל ומחוגה ש $\pi$ יהיה גם מספר הניתן ניתן לבנייה. בשנת 1837, פייר ונצ'ל הראה שאורכים שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה צריכים להיות פתרונות של משוואות פולינומיות מסוימות עם מקדמים רציונליים. לכן, אורכים הניתנים לבנייה חייבים להיות מספרים אלגבריים. אם תרבוע העיגול היה אפשרי באמצעות סרגל ומחוגה בלבד, אז $\pi$ צריך להיות מספר אלגברי. רק בשנת 1882 הוכיח פרדיננד פון לינדמן את טרנסצנדנטיות של $\pi$ וכך הראה את חוסר האפשרות של בנייה זו. הרעיון של לינדמן היה לשלב את הוכחת הטרנסצנדנטיות של מספר של אוילר $e$, שהוצג על ידי צ'ארלס הרמיט ב-1873, עם זהות אוילר

$$e^{i\pi }=-1.$$

זהות זו מראה מיד כי $\pi$ הוא מספר אי-רציונלי, כי חזקה רציונלית של מספר טרנסצנדנטי נשארת טרנסצנדנטלית. לינדמן הצליח להרחיב טיעון זה, באמצעות משפט לינדמן-ויירשטראס על אי-תלות ליניארית של חזקות אלגבריות של $e$, להראות ש $\pi$ הוא טרנסצנדנטי ולכן תרבוע העיגול הוא בלתי אפשרי.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תרבוע העיגול בוויקישיתוף

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34303495תרבוע העיגול