בעיית תרבוע העיגול של טרסקי
בעיית תַּרְבּוּעַ העיגול של טרסקי היא בעיה שהציג המתמטיקאי אלפרד טרסקי בשנת 1925, ובה דרישה לפרק עיגול נתון למספר סופי של חתיכות, שמהם יורכב ריבוע ששטחו שווה לשטח העיגול. בשנת 1990 הוכיח מיקלוש לצקוביץ שלבעיה יש פתרון. הוכחתו עושה שימוש נרחב באקסיומת הבחירה ולכן אינה קונסטרוקטיבית. בהוכחה יש בערך חתיכות.
אי אפשר לחתוך עיגול ולהרכיב מהחתיכות ריבוע, כאשר החיתוך נעשה באמצעות מספריים (כלומר לאורך עקום ז'ורדן). החתיכות בהוכחה של לצקוביץ הן קבוצות לא מדידות.
לצקוביץ הוכיח שלהרכבה די בהזזות בלבד, ואין צורך בסיבוב של חתיכות. במהלך ההוכחה הוכיח גם שכל מצולע ניתן לפירוק למספר סופי של חתיכות שמהן ניתן להרכיב ללא סיבובים ריבוע שווה בשטחו (אם מתירים סיבובים, ההוכחה לטענה פשוטה). במרחב התלת-ממדי ניתן להגיע, על פי הפרדוקס של בנך-טרסקי, לפירוק של כדור למספר סופי של חתיכות כך שלאחר הזזה וסיבוב של החתיכות, ניתן יהיה להרכיב מהם שני כדורים מלאים, זהים במידותיהם לכדור המקורי. לתוצאה זו אי אפשר להגיע במישור, עקב קיומה של מידת בנך.
בעיית תרבוע העיגול, שבה עסקו היוונים הקדמונים, היא בעיה אחרת. בעיה זו דורשת לבנות ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון, באמצעות סרגל ומחוגה בלבד. בשנת 1882 הוכיח פרדיננד לינדמן את משפט לינדמן שממנו עולה שלבעיה זו אין פתרון.
ראו גם
