הוצאת שורש ריבועי
במתמטיקה, הוצאת שורש ריבועי היא הפעולה של חישוב שורש ריבועי של מספר או ערך נתון. באופן כללי יותר, הוצאת שורש ריבועי דורשת פתרון של משוואה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2 = a} , כאשר ידוע ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} הוא הנעלם.
המקרה הפשוט ביותר הוא הוצאת שורש ריבועי ממספר שלם, כמו בדוגמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt{17956}=134} . פעולה זו היא פשוטה יחסית; כל מחשבון כיס יכול לבצע אותה בקלות, ואפילו בעידנים הקדומים ניתן היה לחשבו בדומה לחישוב מנה באמצעות חילוק ארוך.
אופי החישוב תלוי במבנה האלגברי שבו מבצעים את הפעולה.
דוגמאות
הוצאת שורש ממספר ממשי או מרוכב
מציאת השורש של מספר ממשי נתון היא בעיה בסיסית באנליזה נומרית. כמו הרבה בעיות אחרות, הפתרון כולל שני מרכיבים: מציאת קירוב, ושיפורו ההדרגתי. את הקירוב הראשוני לשורש אפשר למצוא על ידי הוצאת שורש ממספר שלם. לדוגמה, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt{0.65} = \frac{\sqrt{65}}{10} \approx \frac{\sqrt{64}}{10} = \frac{8}{10} = 0.8} .
השלב הבא הוא הפעלת שיטת ניוטון-רפסון. אם t הוא קירוב לשורש של a, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t_+ = \frac{1}{2}(t+a/t)} הוא בדרך-כלל קירוב טוב יותר. כאשר הקירוב הראשון קרוב מספיק למטרה, שיטה זו מכפילה את מספר הספרות המדויקות בכל צעד. השורש תמיד נמצא בין t לבין a/t.
בהצגה הקרטזית, השורש השני של מספר מרוכב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a+bi} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a,b\in \mathbb{R}} ) נתון על ידי הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt{a+bi} = \pm (\frac{b}{2t}+ti)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t = \sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}} . זוהי רדוקציה של הוצאת השורש ממספר מרוכב להוצאת שורש ממספר ממשי (חיובי).
הוצאת שורש ידנית ממספר עשרוני
כדי להוציא ידנית שורש ממספר עשרוני, מחלקים את המספר לזוגות (הנקודה העשרונית נמצאת בין הזוגות)
לדוגמה המספר 34927.8721 יחולק כך: 21 87 . 27 49 3
נסמן את תוצאת הביניים ב- X. (בשלב הראשון X=0)
לוקחים את הזוג הגדול ביותר שעוד לא "טופל" ומצמידים אותו מימין לשארית מהסבב הקודם. (בשלב הראשון השארית היא 0) – נסמן את החיבור הזה ב-Y.
בכל שלב מחפשים את הספרה a הגדולה ביותר המקיימת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (20x+a)\cdot a \le y}
רושמים את הספרה a מעל לזוג המתאים והשארית החדשה היא:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y - (20x+a)\cdot a}
דוגמה לחישוב:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \ \ 1 \ \ 8 \ \ \ 6 \ \ .8 \ \ 9 \\ \sqrt{ 3 \ 49 \ 27 \ .87 \ 21 } \\ & & & & & x=0\ \ \ \ & 20x+a \equiv \underline{a}\ \ \ \ \\ \underline{\ } \ 3 \qquad \qquad \quad \ & \underline{a} \times \underline{a} \le 3\ \\ \ \underline{\ 1 \ }\qquad \qquad \quad & \underline{1} \times \underline{1} = 1\ & \Rightarrow & a = 1 & \Rightarrow & x=\underline{1}\ \ \ \ & 20x+a \equiv 2 \underline{a}\ \ \ \\ \underline{\ } \ 2 \ 49 \qquad \qquad & 2\underline{a} \times \underline{a} \le 249 \\ \underline{\ 2 \ 24 \ } \quad \qquad \ & 2\underline{8} \times \underline{8} = 224 & \Rightarrow & a = 8 & \Rightarrow & x=1 \underline{8} \ \ \ & 20x+a \equiv 36 \underline{a}\ \ \\ \underline{\ } \ 25 \ 27 \qquad & 36\underline{a} \times \underline{a} \le 2527 \\ \ \ \underline{\ 21\ 96\ } \qquad & 36\underline{6} \times \underline{6} = 2196 & \Rightarrow & a = 6 & \Rightarrow & x=18\underline{6}\ \ & 20x+a \equiv 372 \underline{a}\ \\ \ \underline{\ } \ 3 \ 31 \ .87 & 372\underline{a} \times \underline{a} \le 33187 \\ \ \ \ \underline{\ 2 \ 98 \ .24\ } & 372\underline{8} \times \underline{8} = 29824 & \Rightarrow & a = 8 & \Rightarrow & x=186 \underline{8}\ & 20x+a \equiv 3736\underline{a} \\ \qquad \ \ \underline{\ } \ 33 \ .63 \ 21 & 3736\underline{a} \times \underline{a} \le 336321 \\ \qquad \ \quad \underline{\ 33 \ .63 \ 21\ } & 3736\underline{9} \times \underline{9} = 336321 & \Rightarrow & a = 9 & \Rightarrow & x=1868 \underline{9} \\ \qquad \qquad \qquad \ \ 0 \\ \end{matrix} }
הוצאת שורש מודולרית
מציאת השורש ריבועי של מספר נתון מודולו מספר אחר היא בעיה שכיחה בהצפנה מודרנית. לדוגמה במציאת השורש של 37 מודולו 63, הבעיה היא למצוא שלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x} , המקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2 \equiv 37 \pmod{63}} . הצעד הראשון לפתרון הבעיה הוא פירוקה לגורמים לפי משפט השאריות הסיני: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 63 = 3^2 \cdot 7} , ולכן עלינו למצוא מספר שיקיים בו זמנית את שתי המשוואות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2 \equiv 37 \pmod{7}} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2 \equiv 37 \pmod{3^2}} . למעשה, היכולת להוציא שורשים מודולו n שקולה, מבחינה חישובית, ליכולת לפרק את n לגורמים ראשוניים (ראו שיטת רבין).
אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n=p^k} הוא חזקה של מספר ראשוני, הוצאת שורש מודולו n קשה בערך כמו הוצאת שורש מודולו p עצמו. המעבר החישובי משורש מודולו p לשורש מודולו n נעשה באינדוקציה על k, כמו בלמה של הנזל. לא לכל מספר קיים שורש מודולו n; אם p אי זוגי, אז שורש כזה קיים מודולו n אם ורק אם הוא קיים מודולו p - וכאשר יש למספר (שונה מאפס) שורש, יש לו בדיוק שניים. אם n הוא חזקת 2, אז קיים לו שורש אם ורק אם קיים שורש מודולו 8, ואם קיים שורש אז קיימים בדיוק ארבעה. (לפרטים בנושא זה, ראו חבורת אוילר).
הוצאת שורש ריבועי מודולו מספר ראשוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p} (אי-זוגי), מתחלקת לשני מצבים. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p \equiv 3 \pmod{4}} אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{\frac{p+1}{2}}=\pm a} , ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{\frac{p+1}{4}}} הוא שורש של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a} או של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -a} (רק לאחד מהם יש שורשים). המקרה השני, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ p\equiv 1 \pmod{4}} , יותר מסובך.
הוצאת שורש בשדה סופי
נניח ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F = \mathbb{F}_q} הוא השדה הסופי בן q איברים. החבורה הכפלית של השדה היא בת q-1 איברים. אם q הוא חזקת 2, לפי משפט לגראנז', הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^{q/2}} הוא שורש של a. אם q אי זוגי המצב דומה להוצאת שורש מודולו ראשוני (אף על פי שהוצאת שורש בשדה בגודל 27 היא משימה אחרת מהוצאת שורש מודולו 27).
הוצאת שורש בשדות מספרים
לפעמים רוצים לחשב את השורש של מספר שאיננו רציונלי, כגון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 301+96\sqrt{5}} , באופן מדויק, ולקבל תשובה מאותה צורה (ולא רק מספר עשרוני, שהוא פתרון מקורב). זוהי בעיה קשה באופן כללי, אבל במקרים מסוימים אפשר לפתור אותה בקלות יחסית. הכלי המרכזי במקרה זה הוא הנורמה, שמוגדרת במקרה של השדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Q}[\sqrt{5}]} לפי הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N(a+b\sqrt{5})=a^2-5b^2} .
מכיוון ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N(301+96\sqrt{5})=301^2-5\cdot 96^2=44521=211^2} , ברור שהשורש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x+y\sqrt{5}} (אם קיים שורש מצורה זו) יהיה בעל נורמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 211} או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -211} , כלומר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2-5y^2=\pm 211} מצד שני, השורש מקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (x+y\sqrt{5})^2 = (x^2+5y^2)+2xy\sqrt{5}=301+96\sqrt{5}} , או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2+5y^2=301;\ 2xy=96} . מחיבור וחיסור שתי המשוואות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x^2,y^2} מקבלים שהנורמה היא דווקא 211, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x=\sqrt{\frac{301+211}{2}}=\sqrt{256}=16} והשורש הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sqrt{301+96\sqrt{5}}=\pm(16+ 3\sqrt{5})} .
שורש ממטריצה חיובית או אופרטור
לא לכל מטריצה קיים שורש מעל שדה המספרים הממשיים: יש מטריצות A עבורן לא ייתכן ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ X^2=A} . לעומת זאת, אם A היא מטריצה חיובית, אפשר למצוא את השורש (הריבועי, ומכל סדר) על ידי לכסון אורתוגונלי והוצאת השורש מן המטריצה האלכסונית המתקבלת.
ראו גם
קישורים חיצוניים
- גדי אלכסנדרוביץ', אז איך באמת מוצאים שורש ריבועי?, באתר "לא מדויק", 31 באוקטובר 2007
- הוצאת שורש ריבועי, באתר MathWorld (באנגלית)
הוצאת שורש ריבועי31422788Q1197114