הצמדה איזוגונלית

אופן ההגדרה של הצמודה האיזוגונלית

בגאומטריה, הצמודה האיזוגונלית של P ביחס למשולש ABC נבנית על ידי שיקוף הישרים PA, PB, PC סביב חוצי הזוויות של A, B, C. שלושת הישרים החדשים נחתכים בצמודה האיזוגונלית ל-P. שלושתם נחתכים בנקודה כתוצאה של משפט צ'בה לזוויות. מסמנים את הצמודה האיזוגונלית ל-P ב-^*P. הצמודה האיזוגונלית של ^*P היא P.

הצמודה האיזוגונלית למרכז המעגל החסום I היא עצמה. מרכז המעגל החוסם O ומפגש הגבהים H צמודים איזוגונלית זה לזה. הצמודה האיזוגונלית למפגש התיכונים היא נקודת למואן (מהגדרה). הצמודה האיזוגונלית של נקודה על צלע המשולש היא הקודקוד שמול הצלע, וזה המקרה יחיד בו הצמדה איזוגונלית אינה חד-חד-ערכית.

בקואורדינטות טריליניאריות, הצמודה האיזגונלית של $x:y:z$ היא ${\frac {1}{x}}:{\frac {1}{y}}:{\frac {1}{z}}$ . בקואורדינטות בריצנטריות, הצמודה האיזוגונלית של $(x:y:z)$ היא ${\frac {a^{2}}{x}}:{\frac {b^{2}}{y}}:{\frac {c^{2}}{z}}$ כאשר $a,b,c$ הן אורכי צלעות המשולש.

לעיתים קרובות, ישנו צורך לחשוב על הצמדה איזוגונלית כפונקציה ולראות מה היא עושה לישרים ומעגלים. הצמדה איזוגונלית של ישר נותנת חתך חרוט שעובר דרך קודקודי המשולש; אליפסה, פרבולה או היפרבולה בהתאם לכמות הפעמים שהישר חותך את המעגל החוסם. הצמדה איזוגונלית של המעגל החוסם של המשולש היא הישר באינסוף.

הגדרות שקולות

באמצעות אליפסה

עבור משולש ABC, שתי נקודות צמודות איזוגונלית אם ורק אם יש חתך חרוט ששתי הנקודות הללו הן מוקדיה ומשיקה למשולש.
תכונה זו נובעת ממשפט סלמון. נוכיח רק כיוון אחד עבור 2 נקודות בתוך המשולש; במקרה זה, חתך החרוט הוא אליפסה.
יהיו ABC קודקודי המשולש, P ו-Q נקודות צמודות איזוגונלית בתוך המשולש. נעביר את האליפסה הגדולה ביותר שמוקדיה P ו-Q שנמצאת בתוך המשולש ונניח, בלי הגבלת הכלליות, שהיא משיקה ל-BC בנקודה D. נעביר משיק מ-C לאליפסה (שאינו BC), ונקרא לנקודה בה הוא משיק לאליפסה ב-E. ממשפט סלמון ומהגדרת הצמדה איזוגונלית, ידוע כי $\angle QCE=\angle PCD=\angle PCB=\angle QCA$ מה שאומר כי E נמצאת על CA, מה שאומר כי האליפסה משיקה לישר CA. באופן סימטרי, אפשר להוכיח כי האליפסה משיקה לישר BA ולכן האליפסה משיקה למשולש.
אם ישנה אליפסה כזאת, מוקדיה צמודים איזוגונלית מידית ממשפט סלמון.

באמצעות מעגל עקבים

עבור משולש ABC, שתי נקודות צמודות איזוגונלית אם ורק אם לשתיהן יש אותו מעגל עקבים.
נניח כי לנקודות P ו-Q אותו מעגל עקבים במשולש ABC. נסמן את עקבי הגבהים של P ל-AB,AC ב-D,E ואת עקבי הגבהים של Q ל-AB,AC ב-F,G (בהתאמה). מחזקת הנקודה של A, נובע כי ${\frac {AD}{AE}}={\frac {AG}{AF}}$ ומזה נובע כי $ADPE\sim AGQF$ שכן כל הזוויות שוות ויש יחס צלעות מתאים. מדמיון זה נובע בקלות $\angle DAP=\angle GAQ$ ובצורה דומה מוכיחים שוויון זוויות לשאר הקדקודים.