התפלגות בינומית שלילית

התפלגות בינומית שלילית

פונקציית ההסתברות
מאפיינים
פרמטרים	$p$ – ההסתברות "להצלחה" $r$ – מספר הכישלונות הרצוי
תומך	$k\in \{0,1,2,3,...\}$
פונקציית הסתברות (pmf)	$P_X(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+k-1}{k})(p{)}^k(1-p{)}^r$
תוחלת	$\frac{r}{p}$
שונות	$\frac{r(1-p)}{p^2}$

בתורת ההסתברות, התפלגות בינומית שלילית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרת ניסויי ברנולי בלתי תלויים לפני שמתרחשים מספר כישלונות קבוע נתון מראש, $r$. לדוגמה, אם מטילים מטבע שוב ושוב, כישלון יוגדר כעץ, וסדרת ההטלות תיעצר כאשר יתקבל עץ בפעם השלישית (אם $r=3$), אז מספר ההצלחות (קבלת "פלי") יתפלג באופן בינומי שלילי.

אם ההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא $p$ וההסתברות לכישלון היא $1-p$, אז מספר ההצלחות האקראי, $X$, יתפלג התפלגות בינומית שלילית עם הפרמטרים $r$ ו־$p$ ומסמנים זאת כך:

$X\sim \text{NB}(r,p)$

משתנה מקרי $X$ מתפלג נקודתית:

$P_X(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+k-1}{k})(p{)}^k(1-p{)}^r\text{for }k=0,1,2,\dots$

כאשר הביטוי בסוגריים הוא המקדם הבינומי ושווה:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+k-1}{k})=\frac{(r+k-1)!}{k!(r-1)!}$

תוחלת של משתנה מקרי בינומי שלילי היא $\frac{r}{p}$ והשונות $\frac{r(1-p)}{p^2}$

התפלגויות קשורות

	עם החזרה	בלי החזרה
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות	התפלגות בינומית	התפלגות היפרגאומטרית
מספר הוצאות עד מספר הצלחות	התפלגות בינומית שלילית	התפלגות היפרגאומטרית שלילית

קישורים חיצוניים

• התפלגות בינומית שלילית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

התפלגות בינומית שלילית42276494Q743364