התפלגות משולשת

התפלגות משולשת

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$a:~a\in (-\infty ,\infty )$ $b:~a<b\,$ $c:~a\leq c\leq b\,$
תומך	$a\leq x\leq b\!$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\begin{cases}0&{\text{for }}x<a,\\{\frac {2(x-a)}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a\leq x<c,\\[4pt]{\frac {2}{b-a}}&{\text{for }}x=c,\\[4pt]{\frac {2(b-x)}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x\leq b,\\[4pt]0&{\text{for }}b<x.\end{cases}}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\begin{cases}0&{\text{for }}x\leq a,\\[2pt]{\frac {(x-a)^{2}}{(b-a)(c-a)}}&{\text{for }}a<x\leq c,\\[4pt]1-{\frac {(b-x)^{2}}{(b-a)(b-c)}}&{\text{for }}c<x<b,\\[4pt]1&{\text{for }}b\leq x.\end{cases}}$
תוחלת	${\frac {a+b+c}{3}}$
סטיית תקן	${\sqrt {\alpha }}/\lambda \,\!$
חציון	${\begin{cases}a+{\sqrt {\frac {(b-a)(c-a)}{2}}}&{\text{for }}c\geq {\frac {a+b}{2}},\\[6pt]b-{\sqrt {\frac {(b-a)(b-c)}{2}}}&{\text{for }}c\leq {\frac {a+b}{2}}.\end{cases}}$
ערך שכיח	$c\,$
שונות	${\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc}{18}}$
אנטרופיה	${\frac {1}{2}}+\ln \left({\frac {b-a}{2}}\right)$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$2{\frac {(b\!-\!c)e^{at}\!-\!(b\!-\!a)e^{ct}\!+\!(c\!-\!a)e^{bt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$
פונקציה אופיינית	$-2{\frac {(b\!-\!c)e^{iat}\!-\!(b\!-\!a)e^{ict}\!+\!(c\!-\!a)e^{ibt}}{(b-a)(c-a)(b-c)t^{2}}}$
צידוד	${\frac {{\sqrt {2}}(a\!+\!b\!-\!2c)(2a\!-\!b\!-\!c)(a\!-\!2b\!+\!c)}{5(a^{2}\!+\!b^{2}\!+\!c^{2}\!-\!ab\!-\!ac\!-\!bc)^{\frac {3}{2}}}}$
גבנוניות	$-{\frac {3}{5}}$

בהסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות משולשת היא התפלגות רציפה עם גבול תחתון a, גבול עליון b ושכיח c, כך שמתקיים: $a<b$ ו-$a\leq c\leq b$.

מאפיינים ושימושים

ההתפלגות המשולשת מייצגת התפלגות בסיסית המבוססת רק על חסם עליון, חסם תחתון ושכיח. מהסיבות הללו, יש המכנים אותה "התפלגות של חוסר נתונים". לרוב משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר אין מספיק נתונים וההתפלגות אינה אחידה. אולם בעיקר משתמשים בהתפלגות משולשת כאשר היחס בין המשתנים ידוע. בהתפלגות משולשת ניתן גם בקלות לחשב את ההסתברות של קבוצה בתחום, על ידי חישוב השטח שמתחת לעקומה הבנוי ממשולש. בשל מאפיינים אלו, משתמשים לרב בהתפלגות משולשת בסימולציות ובתהליכי קבלת החלטות. משתמשים גם בהתפלגות משולשת בשילוב התפלגות בטא בניהול פרויקטים.

מקרים מיוחדים

קיימים מקרים מיוחדים בהם הנקודות הן ידועות ויש שימוש בערך מסוים של c.

שתי נקודות ידועות

ההתפלגות נהיית יותר פשוטה כאשר a=c או b=c. לדוגמה אם a=0 ו-b=c=1 אז בקטע שבו $0\leq x\leq 1$, פונקציית הצפיפות ופונקציית ההצטברות מוגדרות להיות:

${\begin{aligned}f(x)&=2x\\[8pt]F(x)&=x^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}E(X)&={\frac {2}{3}}\\[8pt]\mathrm {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}$

התפלגות של ממוצע שני משתנים עם התפלגות אחידה

בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X₁, X₂ שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע $[0,1]$, אז ההתפלגות של X = (X₁ + X₂)/2 מתאימה למקרה שבו $a=0$,‏ $b=1$ ו-$c=0.5$.

$f(x)={\begin{cases}4x&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\4-4x&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x\leq 1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

$F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<0\\2x^{2}&{\text{for }}0\leq x<{\frac {1}{2}}\\1-2(1-x)^{2}&{\text{for }}{\frac {1}{2}}\leq x<1\\1&{\text{for }}1\leq x\leq 1\\\end{cases}}$

${\begin{aligned}E(X)&={\frac {1}{2}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{24}}\end{aligned}}$

התפלגות המרחק בין שני משתנים מקריים אחידים

בהינתן שני משתנים מקריים בלתי תלויים, X₁, X₂ שלשניהם התפלגות אחידה רציפה על הקטע $[0,1]$, אז ההתפלגות של |X = |X₁ − X₂ מתאימה למקרה שבו a = 0,‏ b = 1 ו-c = 0.

${\begin{aligned}f(x)&=2-2x,{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]F(x)&=2x-x^{2},{\text{ for }}0\leq x<1\\[6pt]E(X)&={\frac {1}{3}}\\[6pt]\operatorname {Var} (X)&={\frac {1}{18}}\end{aligned}}$

יצירת משתנים מקריים בעלי התפלגות משולשת

כאשר נתון משתנה מקרי U שמתפלג באופן אחיד על הקטע $(0,1)$, אז (בעזרת דגימה מהעתקה הופכית) המשתנה

${\begin{matrix}{\begin{cases}X=a+{\sqrt {U(b-a)(c-a)}}&{\text{ for }}0<U<F(c)\\&\\X=b-{\sqrt {(1-U)(b-a)(b-c)}}&{\text{ for }}F(c)\leq U<1\end{cases}}\end{matrix}}$

כאשר F(c) = (c-a)/(b-a) הוא בעל התפלגות משולשת עם פרמטרים a, b ו-c.

קישורים חיצוניים

• התפלגות משולשת, באתר MathWorld (באנגלית)   

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

30570302התפלגות משולשת