חוג אוקלידי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת החוגים, חוג אוקלידי (שנקרא לעיתים גם תחום אוקלידי) הוא חוג שבו אפשר לבצע חילוק עם שארית, וכך לממש את האלגוריתם של אוקלידס לחישוב מחלק משותף מקסימלי. הדוגמאות המוכרות ביותר לחוג כזה הן חוג המספרים השלמים וחוג פולינומים מעל שדה, וההגדרה מכלילה ואורגת את התכונות המשותפות לשתיהן.

לתכונת האוקלידיות יש גם השלכות חישוביות, בפרט בתורת המספרים האלגברית, וגם לבעיות הקשורות ביצירה של חבורות אלגבריות. כל חוג אוקלידי הוא תחום אידיאלים ראשיים.

הגדרה

תחום שלמות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} הוא חוג אוקלידי, אם קיימת פונקציה המחזירה שלמים אי שליליים, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d \colon D \setminus \{0\} \rightarrow \mathbb{N} \cup \{0\}} (המכונה לעיתים פונקציית דרגה), המקיימת את הדרישה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(a)\leq d(ab)} לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ו-, וכן:

  • לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in D} ולכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\neq b \in D} , קיימים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q, r\in D} כך ש- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=qb+r} , כאשר או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(r)<d(b)} .

במילים אחרות, אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} אינו מחלק את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} באופן מדויק, אז אפשר לחלק עם שארית, כאשר "דרגת" השארית (הערך של הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} עבורה) קטנה מדרגת המחלק . תכונה זו היא היסוד להוכחות באינדוקציה על הדרגה, והיא מאפשרת לבחור בקבוצה (לא ריקה) נתונה איבר שדרגתו הקטנה ביותר.

הדרישה איננה הכרחית, מכיוון שבהינתן פונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} המקיימת את הדרישה השנייה בלבד, אפשר להגדיר פונקציה חדשה , והיא תקיים את שתי הדרישות גם יחד.

כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת גם באיבר האפס של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} , יש הקובעים (כאשר מובן שדרגתם של כל האיברים האחרים היא 1 לפחות).

דוגמאות

  • חוג המספרים השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}} הוא אוקלידי, עם הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(x)=|x|} המחזירה עבור כל מספר את הערך המוחלט שלו.
  • חוג השלמים של גאוס, , עם הנורמה .
  • חוג הפולינומים בעלי מקדמים בשדה, עם פונקציית המעלה המקובלת: כל אימת שהמקדם המוביל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n \neq 0} .

תכונות של חוג אוקלידי

הפונקציה האוקלידית מאפשרת לזהות את האיברים ההפיכים של החוג ( הוא איבר הפיך אם קיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle uv=1} ). ראשית, הדרגה של 1 היא הדרגה הקטנה ביותר האפשרית (שהרי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(1)\leq d(1b)=d(b)} לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} ). מתברר שהאברים ההפיכים בחוג הם בדיוק אלה שדרגתם שווה לדרגה של 1.

משפט. כל חוג אוקלידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} הוא ראשי (כלומר, כל אידיאל שלו הוא מן הצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Da=\{ba: b\in D\}} ). הוכחה. אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} אידיאל שאינו אפס, אז קיים בו איבר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} שדרגתו הקטנה ביותר מבין כל אברי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} (כמובן, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} אינו האיבר היחיד בעל תכונה זו). מיד נובע ש- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Da\subseteq I} . נניח שקיים ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} איבר, למשל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , שאיננו מתחלק ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} ; חילוק עם שארית יתן כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d(r)<d(a)} . אולם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=c-qa\in I} הוא איבר של האידיאל, וזה סותר את בחירת כאיבר בעל דרגה מינימלית שם.
מחלק משותף גדול ביותר: ניקח שני איברים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b} בתחום האוקלידי, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a),(b)} הם האידיאליים שהם יוצרים. הסכום שלהם - הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a,b)} , הוא כמובן אידיאל, ומשום שתחום אוקלידי הוא תחום ראשי, הוא אידיאל ראשי, ולכן יש לו יוצר. היוצר הזה הוא מחלק המשותף הגדול ביותר. עם זאת, הוא איננו בהכרח המחלק המשותף היחיד, ייתכנו עוד כאלו, אבל אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} שניים כאלו, אז קיים הפיך כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=uy} , כלומר, הם נבדלים רק במכפלה בהפיך.

אוקלידיות בתורת המספרים האלגברית

בחוגי מספרים, היינו תת-חוגים של שדה המספרים האלגבריים, מוגדרת באופן טבעי נורמה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} , שהיא פונקציה כפלית מן החוג אל המספרים השלמים. בספרים שעיקר עניינם בתורת המספרים, אוקלידיות של חוגים כאלה מוגדרת על-פי הדרישה שדווקא פונקציה זו תקיים את דרישות החילוק עם שארית שהובאו לעיל.

בין השדות הריבועיים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]} , כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} מספר שלם חיובי, חוג השלמים הוא אוקלידי ביחס לנורמה רק עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73} . הדרישה שהחוג יהיה אוקלידי דווקא ביחס לנורמה הכפלית חזקה יותר מאוקלידיות סתם, והדוגמה הבולטת ביותר לכך היא החוג הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}[\sqrt{14}]} , שאינו אוקלידי ביחס לפונקציית הנורמה, וב-2004 הוברר שהוא אוקלידי [1] (ביחס לפונקציה אחרת, מסובכת בהרבה). עדיין לא ידוע מיון שלם של החוגים האוקלידיים ממשפחה זו.

את חוגי השלמים של שדות מספרים אפשר לסדר לפי הדרגה של חבורת היחידות שלהם, שהיא סופית על-פי משפט היחידות של דיריכלה. חבורת יחידות סופית, בעלת דרגה 0, יש רק לחוגי השלמים של השדות הריבועיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Q}[\sqrt{D}]} , כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} מספר שלם שלילי. במקרה זה ידוע שיש תשעה חוגי שלמים ראשיים: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163} , שמהם רק חמשת הראשונים הם אוקלידיים (הראשון ברשימה הוא חוג השלמים של גאוס), וכל אלה אוקלידיים על-פי הנורמה[1].

על-פי ההשערה, בכל מקרה אחר (כלומר, כאשר חבורת היחידות מדרגה חיובית), החוג אוקלידי כל אימת שהוא ראשי. השערה זו נובעת מהשערת רימן המוכללת[2], והיא נכונה גם ללא הנחה חזקה זו כאשר דרגת החבורה היא לפחות 4.[3]

קריטריונים לאוקלידיות

את התוצאה שהוזכרה לעיל על חוגי השלמים בשדות ריבועיים מרוכבים הוכיח Motzkin[4] בעזרת הקריטריון הבא. מגדירים בחוג הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} קבוצות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_n} , כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0=\{0\}} , ואילו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_n} היא קבוצת כל האיברים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , שעבורם לכל מחלקה בחוג המנה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R/Ra} יש נציג מן הקבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{n-1}} . בפרט, היא קבוצת האיברים ההפיכים של החוג. לפי Motzkin, חוג הוא אוקלידי אם ורק אם כל איבר שלו שייך לאחת הקבוצות בסדרה זו.

בדיקת האוקלידיות כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} פונקציה כפלית היא קלה יותר, ואף מספקת במקרים מסוימים אלגוריתם לחישוב השארית. תחום שלמות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} אם ורק אם שדה השברים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} של מכוסה כולו על ידי ה"כדורים" הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(a)=\{x\in F \mid d(x-a)<1\}} שמרכזיהם בנקודות ה"שלמות" הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in R} . מקריטריון זה נובע שאם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} אוקלידי ביחס לפונקציה כפלית, אז כל תת-חוג הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R \subseteq R' \subseteq F} גם הוא אוקלידי.


קישורים חיצוניים

  • חוג אוקלידי, באתר MathWorld (באנגלית)   המזהה לא מולא ולא נמצא בוויקינתונים, נא למלא את הפרמטר.

הערות שוליים

  1. ^ ‏M. Harper, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{Z}[\sqrt{14}]} is Euclidean, Canad. J. Math. 56(1), 55-70, (2004).
  2. ^ ‏P.J. Weinberger, On Euclidean rings of algebraic integers, Analytic Number Theory, pp. 321-332, Amer. Math. Soc, 1973.
  3. ^ ‏M. Harper and M. Ram Murty, Euclidean Rings of Algebraic Integers, Canad. J. Math. 56(1), 71-76, (2004).
  4. ^ ‏T.S. Motzkin, The Euclidean Algorithm, Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1142-1146 (1949).
Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0