חוג רגולרי פון-נוימן

בתורת החוגים, חוג פון-נוימן רגולרי (לפעמים גם חוג רגולרי) הוא חוג, שבו לכל איבר a יש איבר x כך ש-axa=a. תכונה תמימה-למראה זו מקנה למשפחת החוגים הרגולריים אופי ייחודי: מקומית הם דומים לחוגים עם חילוק (x להלן הוא "ההפכי של a ביחס לעצמו"), אבל הם כלליים מספיק כדי לתאר תופעות אנליטיות וגאומטריות במימד כלשהו.

החוגים הרגולריים של פון-נוימן קרויים על-שם ממציאם ג'ון פון נוימן, שהגדיר אותם על-מנת ללמוד אופרטורי הטלה במרחב הילברט. בהקשר זה הוכיח פון-נוימן את משפט הקואורדינטיזציה: כל סריג מודולרי עם משלימים שיש לו בסיס הומוגני בן $n\geq 4$ איברים, איזומורפי לסריג תת-המודולים של המודול החופשי מדרגה n מעל חוג רגולרי [1].

אידמפוטנטים

התכונות הבאות של חוג R שקולות זו לזו:

• החוג רגולרי
• כל אידאל שמאלי ראשי נוצר על ידי אידמפוטנט,
• כל אידאל שמאלי נוצר סופית נוצר על ידי אידמפוטנט,
• כל אידאל שמאלי נוצר סופית הוא מחובר ישר, כתת-מודול של R (ולכן פרויקטיבי; חוג שכל האידאלים השמאליים הנוצרים סופית שלו הם פרויקטיביים נקרא תורשתי למחצה).
• הגרסאות הימניות של כל הנ"ל.

לכל אידמפוטנט e בחוג רגולרי R, גם eRe הוא רגולרי.

תכונות

מכפלה ישרה של חוגים רגולריים היא רגולרית. מכפלה תת-ישרה סופית של חוגים רגולריים הוא רגולרית. מנה של חוג רגולרי היא רגולרית. איחוד של שרשרת חוגים רגולריים הוא רגולרי (ולכן גבול ישר של חוגים רגולריים הוא רגולרי). מאידך חיתוך שרשרת של תת-חוגים רגולריים אינה בהכרח רגולרית, ולכן גבול הפוך של חוגים רגולריים אינו בהכרח רגולרי. חוג מטריצות מעל חוג רגולרי הוא רגולרי. כל אידאל דו-צדדי בחוג רגולרי הוא רגולרי (כחוג בלי יחידה). המרכז של חוג רגולרי הוא רגולרי.

אנדומורפיזם f של מודול M הוא רגולרי (כלומר קיים x כך ש-fxf=f) אם ורק אם הגרעין והתמונה שלו מחוברים ישרים ב-M; לכן חוג האנדומורפיזם של כל מודול פשוט למחצה הוא רגולרי. בפרט, חוג האנדומורפיזמים $\ \operatorname {End} _{D}V$ של מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק הוא תמיד רגולרי (לעומת זאת, אלגברת בנך שהיא רגולרית פון-נוימן צריכה להיות מממד סופי (Kaplansky, 1954)).

חוג רגולרי הוא ראשוני למחצה. למעשה, כל חוג רגולרי הוא פרימיטיבי למחצה, מכיוון שרדיקל ג'ייקובסון לעולם אינו יכול להכיל אידמפוטנטים. בדומה לאפיון של חוגים פשוטים למחצה ככאלה שכל המודולים מעליהם פרויקטיביים, חוג הוא רגולרי אם ורק אם כל המודולים מעליו שטוחים (משפט Harada-Auslander). בפרט, כל חוג פשוט למחצה הוא רגולרי.

Kaplansky שער (ב-1970) שכל חוג רגולרי ראשוני הוא פרימיטיבי, והשערה זו הוכחה כנכונה אם יש קבוצה בת-מניה של אידאלים (שונים מאפס), שכל אידאל (שונה מאפס) מכיל אחד מהם. לעומת זאת יש אלגברות חבורה שהן ראשוניות ורגולריות, אבל אינן פרימיטיביות.

חוג קומוטטיבי הוא רגולרי פון-נוימן אם ורק אם כל המודולים הפשוטים שלו הם אינג'קטיביים (Kaplansky, 1956), אם ורק אם הוא ראשוני למחצה ובעל ממד קרול 1.

מושגים קרובים

חוג הוא רגולרי בחֹזקה (strongly regular) אם לכל איבר a קיים איבר x כך ש-$a^{2}x=a$, ובי-רגולרי אם כל אידאל דו-צדדי נוצר על ידי אידמפוטנט מרכזי. כל חוג רגולרי בחזקה, הוא רגולרי וגם בי-רגולרי (חוג הוא רגולרי בחזקה אם ורק אם הוא רגולרי וכל האידפוטנטים שלו מרכזיים). מאידך, חוג נקרא $\pi$-רגולרי אם לכל a קיימים איבר x ומספר n כך ש-$a^{n}xa^{n}=a^{n}$. כל חוג רגולרי, או בי-רגולרי, הוא $\pi$-רגולרי. בחוג $\pi$-רגולרי, כל אידאל שמאלי לא נילי מכיל אידמפוטנט. חשיבותה של המחלקה האחרונה בכך שכל אלגברה אלגברית היא $\pi$-רגולרית. חוג נקרא $\pi$-רגולרי בחזקה אם לכל a קיים n כך ש-$a^{n}\in Ra^{n+1}$ (חוג קומוטטיבי כזה הוא בעל ממד קרול אפס).

אם לכל a קיים x הפיך כך ש-$axa=a$, החוג הוא רגולרי ליחידות (unit regular); תכונה זו שקולה לכך שכל איבר הוא מכפלה של אידמפוטנט ואיבר הפיך. כל חוג כזה הוא כמובן רגולרי. כל חוג פשוט למחצה הוא רגולרי ליחידות. לחוג רגולרי ליחידות יש טווח יציב 1. נניח שחוג האנדומורפיזמים של מודול M הוא רגולרי; אז הוא רגולרי ליחידות אם ורק אם M מקיים את תכונת הצמצום הפנימי. בפרט, חוג רגולרי הוא רגולרי ליחידות אם ורק אם הוא מקיים את תכונת הצמצום הפנימי כמודול (שמאלי) מעל עצמו, אם ורק אם כל מודול פרויקטיבי נוצר סופית מעליו הוא בעל תכונת הצמצום. מכאן נובע גם שלכל מרחב וקטורי אינסוף-ממדי V מעל חוג עם חילוק D, חוג האנדומורפיזמים הוא רגולרי אבל אינו רגולרי ליחידות.

חוגים רגולריים למחצה

אם $\ R/J(R)$ רגולרי ואפשר להרים כל אידמפוטנט מחוג המנה $\ R/J(R)$ אל R, אז R נקרא רגולרי למחצה. כמובן, כל חוג רגולרי הוא רגולרי למחצה.

חוג עם החלפה הוא חוג R שבו לכל איבר a קיים אידמפוטנט $\ e\in aR$ כך ש-$\ (1-e)\in (1-a)R$ (תכונה זו סימטרית להחלפת שמאל וימין). כל מודול פרויקטיבי מעל חוג עם החלפה הוא סכום ישר של אידאלים שמאליים הנוצרים על ידי אידמפוטנטים. כל חוג רגולרי למחצה הוא חוג עם החלפה (אבל יש חוגים קומוטטיביים עם החלפה שאינם רגולריים למחצה).

מקורות

• von Neumann regular rings, Goodearl, 1979, 1991.
• Rings and Things, Carl Faith, Chap. 4.