מודול שטוח

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית, מודול שטוח מעל חוג R הוא מודול M מעל R, שעבורו פונקטור המכפלה הטנזורית ב-M הוא מדויק.

מרחבים וקטורים מעל שדה הם מודולים שטוחים. באופן כללי יותר, מודולים חופשיים, ואף מודולים פרויקטיבים הם מודולים שטוחים. מאידך, כל מודול שטוח הוא חסר פיתול. חוג הוא פון-נוימן רגולרי אם ורק אם כל המודולים מעליו שטוחים (משפט Harada-Auslander), ומושלם (אנ') אם ורק אם כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי.

מודולים שטוחים הוגדרו לראשונה על ידי ז'ן-פייר סר (Serre) במאמרו המפורסם Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique, אשר יצא לאור בשנת 1956.

מבוא והגדרה

יהי M מודול (שמאלי) מעל החוג R. לכל מודול (ימני) N אפשר לבנות את המכפלה הטנזורית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M \otimes_R N} , שהיא החבורה האבלית הנוצרת על ידי הסמלים הפורמליים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m \otimes n} (כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m \in M, \, n\in N} ), המקיימים כמה חוקים טבעיים. אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N \subseteq N'} , מוגדרת העתקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M \otimes_R N \rightarrow M \otimes_R N'} הרואה כל סמל כאילו הוא חי ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M \otimes_R N'} .

התהליך הזה עלול להיות הרסני: למשל, מעל חוג השלמים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mathbb{Z}} , אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M = \mathbb{Z}/a\mathbb{Z}} , אז המכפלה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M \otimes N} שווה למודול המנה . אם נתבונן בהכלה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N = \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} = N'} , נגלה שהמנה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N/aN} היא חבורה בת a אברים, בעוד שהמנה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N'/aN'} שווה לאפס, כך שאין הכלה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M \otimes N \subseteq M \otimes N'} . היכולת הזו להרוס הכלות משתקפת במבנה של המודול M, ובמקרה זה היא באה לידי ביטוי בכך שהוא מפותל. במקרים אחרים (למשל, אם M חופשי) מובטח שהמכפלה הטנזורית ב-M תשמור על הכלה. בגלל חשיבותה של התכונה הזו, הציע סר מונח מיוחד למודולים M שעבורם

  • אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N \subseteq N'} , אז ההעתקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M \otimes_R N \rightarrow M \otimes_R N'} היא שיכון (לכל N ולכל 'N):

מודול M המקיים תכונה זו נקרא מודול שטוח.

תכונות יסודיות

כדי שהמודול M יהיה שטוח מעל R, די בכך שההעתקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ M \otimes_R N \rightarrow M \otimes_R N'} היא שיכון לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ N \subseteq N'} שהם אידאלים שמאליים נוצרים סופית של R. כל תת-המודולים של M הם שטוחים אם ורק אם כל תת-המודולים הנוצרים סופית הם שטוחים.

הגדרה קטגורית

יהי R חוג קומוטטיבי, ויהי M מודול מעל R. נגדיר פונקטור מהקטגוריה של מודולים מעל R לעצמה על ידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F(N) = M \otimes_R N} .

אפשר להראות כי הפונקטור F הוא מדויק מימין. כלומר, בהינתן סדרה מדויקת של R-מודולים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,0 \to N_1 \to N_2 \to N_3 \to 0} , הפעלת F על הסדרה תיתן סדרה מדויקת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,M\otimes_R N_1 \to M\otimes_R N_2 \to M\otimes_R N_3 \to 0} . עם זאת, ההעתקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,M\otimes_R N_1 \to M\otimes_R N_2} אינה מוכרחה להיות חד חד ערכית.

אם הפונקטור F הוא מדויק, נאמר כי M הוא R-מודול שטוח. לאור הדיון לעיל, M הוא שטוח אם ורק אם לכל העתקה חד חד ערכית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,N_1 \to N_2} של R-מודולים, ההעתקה המתקבלת על ידי מכפלה טנזורית עם M, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,M\otimes_R N_1 \to M\otimes_R N_2} היא חד חד ערכית. מן ההגדרה נובע שמעל חוג חלופי, מכפלה טנזורית של מודולים שטוחים היא שטוחה[1]

במקרה הכללי, כש-R אינו בהכרח חילופי, הפונקטור F דלעיל עדיין מוגדר על מודולים ומחזיר חבורות אבליות. למרות זאת, ההגדרה נשארת זהה - מודול M נקרא שטוח אם הפונקטור F כפונקטור מהקטגוריה של R-מודולים לקטגוריה של חבורות אבליות הוא פונקטור מדויק.

מתי כל המודולים שטוחים

חוג R הוא רגולרי פון-נוימן אם ורק אם כל מודול שמאלי או ימני הוא שטוח, אם ורק אם לכל a, המודול הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R/Ra} הוא שטוח.

כאשר החוג קומוטטיבי, כל המודולים שטוחים אם ורק אם החוג הוא מצומצם (אין בו איברים נילפוטנטיים) וסריג תת-המודולים של כל מודול הוא דיסטריבוטיבי. גם ללא הנחת הקומוטטיביות, אם החוג מצומצמם וכל אידאל חד-צדדי הוא דו-צדדי, אז כל המודולים שטוחים אם ורק אם סריג תת-המודולים של כל מודול הוא דיסטריבוטיבי.

הקשר לפרויקטיביות

מחלקות של מודולים. חץ כחול מתאר מחלקה של חוגים (למשל חוג הוא מושלם אם ורק אם כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי); חץ מקווקו מתקיים מעל המחלקה הנתונה (למשל מעל חוג מושלם למחצה, כל מודול שטוח נוצר סופית הוא פרויקטיבי)

כל סכום ישר של מודולים שטוחים הוא שטוח, וכל מחובר ישר במודול שטוח הוא שטוח בעצמו.

כל מודול פרויקטיבי הוא שטוח. בפרט, כל מודול חופשי הוא שטוח. מאידך מודול שטוח עם הצגה סופית הוא פרויקטיבי[2], ולכן עבור מודולים נוצרים סופית מעל חוג נתרי, מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא פרויקטיבי. המספרים הרציונליים, כמודול מעל השלמים, הם דוגמה למודול שטוח שאינו פרויקטיבי. אם R הוא חוג חילופי נתרי מקומי, אז כל מודול שטוח נוצר סופית מעל R הוא מודול חופשי.

מודול שיש לו כיסוי פרויקטיבי (היינו, הוא מנה של מודול פרויקטיבי ביחס לגרעין קטן) הוא שטוח אם ורק אם הוא פרויקטיבי בעצמו. כל המדולים השטוחים מעל חוג הם פרויקטיביים, אם ורק אם החוג מושלם (מחלקה זו כוללת כל תת-חוג (עם יחידה) של חוג פשוט למחצה, וכל מקומי למחצה R עם הרמת אידמפוטנטים מ-). התכונה "כל מודול שטוח נוצר סופית הוא פרויקטיבי" חלשה בהרבה; למשל, היא כוללת את כל תחומי השלמות, ואת כל החוגים המקומיים-למחצה הקומוטטיביים (מעל חוג קומוטטיבי, תכונה זו שקולה לכך שכל מודול ציקלי שטוח הוא פרויקטיבי)[3].

אינג'קטיביות

המודול M מעל R הוא שטוח אם ורק אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \operatorname{Hom}_{\Z}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})} אינג'קטיבי מעל R. כל מודול שמאלי שטוח הוא אינג'קטיבי אם ורק אם כל מודול ימני שטוח הוא אינג'קטיבי, אם ורק אם החוג ארטיני ואינג'קטיבי.

הקשר לפיתול

כל מודול שטוח הוא חסר פיתול.

מעל חוג השלמים Z, מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חסר פיתול. לתחום שלמות יש התכונה הזו (שכל מודול חסר פיתול הוא שטוח) אם ורק אם הוא תחום פרופר (היינו תחום שלמות שבו כל האידאלים הנוצרים סופית הם הפיכים).

מודול שמאלי M נקרא חסר-פיתול לפי האטורי (Hattori torsion-free, להלן חפ"ה) אם כל אימת ש- am=0 (עבור m במודול וסקלר a) אפשר לכתוב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m = a_1m_1+\cdots+a_nm_n} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ aa_1=\cdots=aa_n=0} . כל מודול כזה הוא חסר פיתול. את הפיתול לפי האטורי אפשר לאבחן בעזרת אידאלים ראשיים: מודול הוא חפ"ה, אם ורק אם לכל a בחוג, ההעתקה הטבעית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Ra \otimes M \rightarrow aM} היא איזומורפיזם. בפרט, כל מודול שטוח הוא חפ"ה. לכן מחלקת המודולים חסרי הפיתול לפי האטורי היא מחלקת ביניים, הכוללת את כל המודולים השטוחים, ומוכלת בזו של המודולים חסרי הפיתול. מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חפ"ה ומתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (B \cap B')M = BM \cap B'M} לכל שני אידאלים (נוצרים סופית) ימניים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ B,B'\leq_r R} .

מעל חוג המקיים את תכונת בזו מימין (כל אידאל נוצר סופית הוא ראשי), מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חפ"ה; ומעל חוג ללא מחלקי אפס המקיים את תכונת בזו מימין, מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא חסר פיתול.

מיקום, גבולות, מכפלות ישרות, פולינומים

מעל חוגים נתריים שטיחות היא תכונה מקומית, כלומר מודול M מעל חוג חילופי R הוא שטוח אם ורק אם לכל אידאל ראשוני הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,p \in Spec R} , המיקום שטוחה מעל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,R_p} .

מודול הוא שטוח אם ורק אם הוא מתקבל כגבול ישר של מודולים חופשיים נוצרים סופית. אין בכך מגבלה על גודלו של מודול שטוח, שכן כל מודול הוא גבול ישר של אוסף כל תת-המודולים הנוצרים סופית שלו.

כל מכפלה ישרה של מודולים (שמאליים) שטוחים היא מודול שטוח, אם ורק אם כל מכפלה ישרה של עותקים של החוג היא שטוחה, אם ורק אם החוג הוא קוהרנטי משמאל. כל תת-מודול (שמאלי) של כל מכפלה ישרה של עותקים של החוג הוא שטוח, אם ורק אם כל אידאל ימני נוצר סופית הוא פרויקטיבי.

יהי R חוג קומוטטיבי. חוג המנה (הקומוטטיבי) הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ R[x_1,\dots,x_n]/\langle f \rangle} שטוח כמודול מעל R, אם ורק אם האידאל של R הנוצר על ידי המקדמים של f הוא מחובר ישר ב-R[4]

רזולוציות שטוחות ומכפלה טנזורית נגזרת

בהינתן מודול M, רזולוציה שטוחה שלו היא קומפלקס מדויק P אשר מורכב ממודולים שטוחים, המרוכז בדרגות שליליות, ביחד עם קוואזיאיזומורפיזם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,P \to M} .

בעזרת רזולציות שטוחות ניתן להגדיר את הפונקטור הנגזר משמאל של פונקטור המכפלה הטנזורית: לכל מודול M נבחר רזולוציה שטוחה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,P_M} . בהינתן זוג מודולים M, N מעל חוג חילופי R, המכפלה הטנזורית הנגזרת שלהם מוגדרת להיות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,M\otimes^L_R N = P_M \otimes_R N} . בניה זו תלויה לכאורה בבחירת הרזולוציה השטוחה, אך ניתן להראות כי בחירת רזולוציה אחרת תוביל לקומפלקס קוואזיאיזומורפי. ההומולוגיות של המכפלה הטנזורית הנגזרת שוות לפונקטור Tor.

קומפלקסים K-שטוחים

ניתן להכליל את מושג המודול השטוח למקרה של קומפלקס שאינו חסום. לכל זוג קומפלקסים M וN מעל חוג R, מוגדרת המכפלה הטנזורית הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \,M\otimes _{R}N} . אם הפונקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,F(N) = M \otimes_R N} הוא מדויק, אומרים כי M הוא קומפלקס K-שטוח. אם M קומפלקס חסום מלמעלה אז הוא K-שטוח אם ורק אם כל אחד מהמודולים המרכיבים אותו הוא שטוח. באופן כללי, אם M קומפלקס K-שטוח כלשהו אז הוא קוואזי-איזומורפי לקומפלקס שכל המודולים המרכיבים אותו הם שטוחים, אך ההפך אינו נכון באופן כללי, כלומר ייתכן שקומפלקס שאינו חסום מלמעלה יהיה מורכב ממודולים שטוחים, אך הקומפלקס לא יהיה K-שטוח.

מעל חוג נתון, לכל קומפלקס קיימת רזולוציה K-שטוחה, כלומר קיים קומלפקס K-שטוח שהינו קוואזי-איזומורפי לו. בעזרת רזולציות אלו אפשר להרחיב את פונקטור המכפלה הטנזורית הנגזרת לכל הקטגוריה הנגזרת של קטגורית המודולים מעל חוג נתון, ללא הגבלת חסימות.

העתקות שטוחות

  • הומומורפיזם של חוגים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,f:R \to S} נקרא שטוח אם הוא הופך את S למודול חופשי מעל R. גרותנדיק הוכיח שכל העתקה חלקה פורמלית בין חוגים נתריים היא שטוחה. בפרט, כל העתקה אטל-פורמלית (Formally étale) (העתקת כיסוי אלגברית) היא שטוחה.
  • בפרט, לוקליזציה והשלמה הן העתקות שטוחות.
  • הנחת הנתריות הכרחית בהוכחת השטיחות להעתקות חלקות פורמלית. לדוגמה, יהי k שדה, ויהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k[\{t^q\}]} חוג הפולינומים בחזקות רציונליות חיוביות של t. ניתן להראות כי ההעתקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,k[\{t^q\}] \to k} השולחת את t ל0 היא העתקה אטל-פורמלית, אך היא אינה העתקה שטוחה. דוגמה זו אינה סותרת את משפטו של גרותנדיק, משום שהחוג איננו חוג נתרי.

הערות שוליים

  1. ^ זה מראה שאפילו מעל תחום שלמות, שטיחות היא תכונה יציבה יותר מחוסר-פיתול: מכפלה טנזורית של מודולים שטוחים היא תמיד שטוחה, אבל מכפלה טנזורית של מודולים חסרי פיתול היא חסרת פיתול אם ורק אם D הוא חוג פרופר.
  2. ^ D. Lazard, Autour de la platitude, Bull. Soc. Math. France 97 (1969), p.81--128
  3. ^ המאמרים [www.mscand.dk/article/download/10979/9000] ‏ S. Jondrup, "On Finitely Generated Flat Modules", Math Scand 26 (1970), 233--240‏ ו-[1] ‏ (Puninski-Rothmaler, 2004) עוסקים בשאלה מהן התכונות של חוג שכל מודול נוצר סופית שטוח מעליו הוא פרויקטיבי.
  4. ^ M. Nagata: Flatness of an Extension of a Commutative Ring, J. Math Kyoto U, 1969.