יחס הופכי
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, היחס ההופכי ליחס בינארי על קבוצה , הוא היחס המסומן ומוגדר על ידי . לדוגמה, היחס ההופכי ליחס על הוא היחס .
תכונות של יחסים המשתמרות ביחס ההופכי
- סימטריה. בפרט אם סימטרי, אז .
- הוכחה: .
- הוכחה: .
- הוכחה: .
- הוכחה: מההגדרה נובע כי , ולכן .
- אנטי סימטריה וכן א-סימטריה.
- הוכחה: ולכן יש שימור של אנטי-סימטריה. עבור א-סימטריה: ולכן אם א-סימטרי אז א-סימטרי.
תכונות נוספות של היחס ההופכי
- ההופכי של ההופכי הוא היחס עצמו: . תכונה זו מאפשרת להפוך את כל התכונות לעיל מ-"אם ב אז ב" ל-"ב אם ורק אם ב".
- הוכחה: לכל x,y -
- הוכחה: לכל x,y - ולכן .
- הוכחה:לכל x,y - .
- הוכחה: לכל x,y - .
- ההופכי להרכבת יחסים הוא הרכבת ההופכיים בסדר הפוך: .
- הוכחה: לכל x,y - .
- מכל התכונות בסעיף הקודם נובע כי היחס ההופכי ליחס שקילות הוא יחס שקילות, והיחס ההופכי ליחס סדר הוא יחס סדר.
דוגמאות
- לכל קבוצה , היחס ההופכי ליחס על הוא .
- לכל פונקציה חד-חד-ערכית ועל, היחס ההופכי הוא הפונקציה ההופכית.
- היחס ההופכי ליחס "קיימת פונקציה חד-חד-ערכית" בין קבוצות הוא היחס "קיימת פונקציה על".
ראו גם
קישורים חיצוניים
נושאים בתורת הקבוצות | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | תורת הקבוצות הנאיבית • תורת הקבוצות האקסיומטית • קבוצה • יחידון • הקבוצה הריקה • קבוצת החזקה | |
עוצמות | עוצמה • קבוצה בת מנייה • קבוצה שאינה בת מנייה • עוצמת הרצף | |
פעולות | איחוד • חיתוך • משלים • הפרש סימטרי • מכפלה קרטזית | |
אקסיומות | אקסיומת ההיקפיות • אקסיומת האיחוד • אקסיומת הקבוצה האינסופית • אקסיומת ההחלפה • אקסיומת קבוצת החזקה • אקסיומת היסוד • אקסיומת הבחירה • השערת הרצף | |
משפטים | האלכסון של קנטור • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין • הלמה של צורן • משפט הסדר הטוב | |
פונקציות | פונקציה • פונקציה חד-חד-ערכית • פונקציה על • פונקציה חד-חד-ערכית ועל • פונקציית הזיווג של קנטור | |
יחסים | יחס • יחס רפלקסיבי • יחס סימטרי • יחס טרנזיטיבי • יחס שקילות • סדר חלקי • יחס הופכי • יחס אנטי-סימטרי | |
סדר | סדר מלא • סדר טוב • סדר חלקי • טיפוס סדר • מספר סודר | |
שונות | הפרדוקס של ראסל |