הפרדוקס של ראסל

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הפרדוקס של ראסל הוא פרדוקס שהציע הפילוסוף והלוגיקן ברטראנד ראסל בשנת 1901, במכתב ששלח למייסדה של הלוגיקה המתמטית, גוטלוב פרגה. לפרדוקס היתה השפעה מכרעת על התפתחותה של תורת הקבוצות ועל התפתחות המתמטיקה בכלל. פרגה, שקיבל את מכתבו של ראסל זמן קצר לפני השלמת הכרך השני של ספרו "יסודות האריתמטיקה", הבין שגישתו המקורית, המכונה היום תורת הקבוצות הנאיבית, מביאה לסתירה, וויתר על השלמת הספר.

מוסכמה בסיסית בתורת הקבוצות קובעת שקבוצה מוגדרת על־פי האברים השייכים לה. ראסל התייחס להנחה יסודית אחרת, שלפיה אפשר (לכאורה) להגדיר קבוצה באמצעות כלל שיקבע מהם האברים השייכים לה.

הפרדוקס

כדי להציג את הפרדוקס של ראסל, נאמר כי קבוצה גדולה היא קבוצה הכוללת את עצמה כאבר, וכל קבוצה אחרת (כלומר, שאיננה אבר של עצמה), היא קבוצה קטנה.

ראסל הגדיר את קבוצת כל הקבוצות הקטנות X, ושאל:

  • האם X היא קבוצה קטנה או גדולה?

אם X קבוצה קטנה, הרי שלפי הגדרתה כקבוצת כל הקבוצות הקטנות היא כוללת את עצמה כאבר, אבל אז היא קבוצה גדולה לפי ההגדרה. מאידך, אם X קבוצה גדולה עליה לכלול את עצמה כאבר, אבל זו סתירה לכך שכל האברים ב־X הם קבוצות קטנות. במלים אחרות, ההנחות שלפיהן הקבוצה X קיימת וחייבת להיות קטנה או גדולה, מוליכות לסתירה.

ניסוח פופולרי ממיר את מושגי תורת הקבוצות בסיפור:

בעיירה נידחת ספר יחיד המספר רק לקוחות שאינם מסתפרים בעצמם.
מה קורה כאשר הספר זקוק לתספורת? לפי חוקי מספרתו, אם הספר מסתפר בעצמו אזי אינו רשאי לספר את עצמו, אך אם אינו מסתפר בעצמו אזי רשאי הוא לספר את עצמו. סתירה.

גישות לפתרון הפרדוקס

הלוגיקאים שבאו בעקבות תובנתו של ראסל, והוא בראשם, הבינו שמקור הפרדוקס הוא באפשרות לאסוף אברים בכל דרך לכדי בנייה של קבוצה. כדי למסד את תורת הקבוצות באופן שלא יכיל סתירות, יש צורך להגדיר באופן מסודר אלה אוספים יכולים להיחשב לקבוצות. בתחילת הדרך היו כמה גישות לסוגיה זו, למשל תורת הטיפוסים.

בהמשך התברר שהגישה היעילה ביותר היא תורת הקבוצות האקסיומטית שפיתחו צרמלו ופרנקל. במסגרת זו, אחת האקסיומות החשובות היא אקסיומת ההפרדה, המאפשרת לבנות קבוצה חדשה על ידי ליקוט איברים של קבוצה קיימת. מנקודת מבט זו, הפרדוקס של ראסל מוכיח ש'קבוצת כל הקבוצות' אינה קיימת, משום שאחרת אפשר היה לבנות ממנה את קבוצת כל הקבוצות שאינן שייכות לעצמן, שאינה קיימת לפי הפרדוקס. פרדוקס זה ודומים לו שינו כליל את פני תורת הקבוצות מתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך קבוצה אוניברסלית, 'קבוצת כל הקבוצות' ותת-קבוצות שלה לתורה שבה כל הקבוצות נבנות מתוך הקבוצה הריקה וקבוצות המכילות אותה.

רעיון דומה לפרדוקס של ראסל מאפשר להוכיח שקבוצת החזקה של קבוצה A היא לעולם גדולה מן הקבוצה A עצמה, וזהו תוכנו של משפט קנטור.

ראו גם

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0