יריעה אלגברית פרויקטיבית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

יריעה אלגברית פרויקטיבית היא יריעה אלגברית במרחב הפרויקטיבי, כלומר: קבוצת השורשים של קבוצת פולינומים הומוגניים. היריעות האלגבריות נחקרות במסגרת הגאומטריה הפרויקטיבית והגאומטריה האלגברית. למשל: קיימים מיונים של ישרים פרויקטיבים, עקומות קוניות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 2) ועקומות קוביות פרויקטיביות (עקומות שמוגדרות על ידי פולינום הומוגני ממעלה 3) מישוריות. משפט בזו מנוסח אף הוא למקרה הפרויקטיבי. יריעות פרויקטיביות מופיעות גם במחקר של חבורות אלגבריות (למשל: אם G חבורה אלגברית ו-H תת-חבורה אלגברית שלה המנה G/H היא יריעה קווזי-פרויקטיבית).

הגדרה

המרחב הפרויקטיבי מעל שדה סגור אלגברית K הוא מרחב המנה של מרחב וקטורי המורכב מאוסף ה-n+1-יות ללא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0,...,0)} תחת יחס השקילות

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_0, x_1, ...,x_n) \sim (y_0,y_1,...,y_n) \iff \exists \lambda \in K^\times : \forall 0 \le i \le n : x_i = \lambda y_i}

כלומר, כל שתי n+1-יות מזוהות כאחת אם הן פרופורציוניות זו לזו בסקלר שונה מאפס. מסמנים

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}^n_K = \left( (K^{n+1}-\{0\})/\sim \right) = \left\{ (x_0 : x_1 : ... : x_n ) \mid x_i \in K , \mbox{ not all are zero} \right\}} .

פולינום ב-n+1 משתנים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0,x_1,...,x_n} יקרא פולינום הומוגני ממעלה d אם

כאשר d היא מעלת הפולינום. לדוגמה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y,z) = x^2 + yz} הוא הומוגני ממעלה 2 בעוד ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x,y,z) = x^3 + yz} אינו הומוגני בכלל.

נשים לב שאין משמעות לערך של פולינום בנקודה של המרחב הפרויקטיבי אך כן יש משמעות להתאפסות של פולינום הומוגני בנקודה פרויקטיבית. מגדירים, אם כן,

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V = \mathcal{V}(f_1,...,f_m) = \left\{ (x_0 : x_1 : ... : x_n ) \in \mathbb{P}^n_K \mid f_1(x_0,...,x_n) = ... = f_m(x_0,...,x_n) = 0 \right\}}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1,...,f_m} הם פולינומים הומוגניים. הקבוצה V נקראת יריעה אלגברית פרויקטיבית.

קבוצה X ב- נקראת "קבוצה אלגברית" ומוגדרת להיות קבוצה סגורה אם היא מהצורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X = \mathcal{V}(f_1,...,f_m)} עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_1,...,f_m} הם פולינומים הומוגניים כלשהם. הגדרה זו משרה טופולוגיית זריצקי על המרחב הפרויקטיבי.

באופן דומה למקרה של יריעה אלגברית אפינית אפשר להגדיר טופולוגיית זריצקי ואי-פריקות של יריעות אלגבריות, וכן להגדיר K-אלגברה של פונקציות מעל כל יריעה. יש הכוללים בהגדרה "יריעה אלגברית פרויקטיבית" את הדרישה שהיא תהייה אי-פריקה בטופולוגיית זריצקי. באופן דומה למקרה האפיני, אפשר לנסח את משפט האפסים של הילברט.

יריעות קווזי-פרויקטיביות

קבוצה פתוחה בטופולוגיית זריצקי שמוכלת בקבוצה סגורה במרחב הפרויקטיבי נקראת יריעה קווזי-פרויקטיבית. הגדרה שקולה היא קבוצה סגורה מקומית. יריעה אלגברית אפינית ויריעה אלגברית פרויקטיבית הן מקרה פרטי של יריעה קווזי-פרויקטיבית.

ראו גם

סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0