פולינום הומוגני

במתמטיקה, ובפרט באלגברה, פולינום הומוגני הוא פולינום שהוא גם פונקציה הומוגנית.

לפולינומים מסוג זה חשיבות רבה, במיוחד בתחום של גאומטריה אלגברית, זאת מכיוון שהם משמשים לתיאור יריעות אלגבריות פרויקטיביות באמצעות קואורדינטות הומוגניות.

הגדרה

בהינתן חוג חילופי $R$, מספרים טבעיים $n,m,d\in \mathbb{\mathbb{N}}$ ופולינום $f\in R[x_1,\dots ,x_n]$ מהצורה

$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^m{a}_i{x}_1^{d_{i1}}{x}_2^{d_{i2}}\cdots x_n^{d_{in}}$

$f$ ייקרא פולינום הומוגני מדרגה $d$ אם ורק אם הוא מקיים את אחד התנאים השקולים הבאים:

1. $f$ היא פונקציה הומוגנית מדרגה $d$. כלומר, לכל $t,x_1,\dots ,x_n\in R$ מתקיים ש-$f(t{x}_1,\dots ,t{x}_n)=t^{d}f(x_1,\dots ,x_n)$.
2. לכל $1\le i\le m$ מתקיים ש-$d_{i1}+\dots +d_{in}=d$. כלומר, הדרגה של כל מונום מאיברי הפולינום היא $d$.

ניתן לראות מהתנאי השני שכל פולינום הומוגני מדרגה $d$, הדרגה שלו עצמו היא בהכרח $d$ במובן של דרגת פולינום.

לעיתים פולינומים הומוגניים נקראים גם תבנית פולינומית.

דוגמאות

הפולינום $p(x,y,z)=xy+yz+xz$ הוא פולינום הומוגני מדרגה 2 שכן:

$p(\lambda x,\lambda y,\lambda z)={\lambda }^{2}xy+{\lambda }^{2}yz+{\lambda }^{2}xz={\lambda }^2\cdot (xy+yz+xz)={\lambda }^{2}p(x,y,z)$.

נסתכל על הפולינום $p(x_1,x_2,x_3)=42x_1^3+11x_2^2{x}_3$. זהו פולינום הומוגני מדרגה 3 שכן:

$p(\lambda x_1,\lambda x_2,\lambda x_3)=42(\lambda x_1{)}^3+11(\lambda x_2{)}^2\lambda x_3={\lambda }^{3}42x_1^3+{\lambda }^{3}11x_2^2{x}_3={\lambda }^3\cdot (42x_1^3+11x_2^2{x}_3)={\lambda }^{3}p(x_1,x_2,x_3)$.

הפולינום $p(x,y)=7x^{2}y+3$ הוא לא פולינום הומוגני, זאת מכיוון שישנו איבר חופשי בפולינום שלא מאפשר יחסיות בין $\lambda$ לבין ערך הפולינום.

תכונות

1. כל פונקציה קבועה היא פולינום הומוגני מדרגה 0.
2. כל מונום הוא פולינום הומוגני.
3. אם דרגת פולינום הומוגני $d$ היא זוגית, הפולינום הוא פונקציה זוגית. מנגד, אם $d$ אי-זוגי, הפולינום הוא פונקציה אי-זוגית.
4. סכום פולינומים הומוגניים מדרגה $d$ הוא פולינום הומוגני מדרגה $d$.
5. מכפלת פולינום הומוגני מדרגה $d$ בסקלר היא פולינום הומוגני מדרגה $d$.
6. מתוך שתי התכונות הקודמות עולה כי אוסף הפולינומים ההומוגנים ב-$n$ משתנים מעל חוג $R$ מדרגה $d$ מהווה מרחב וקטורי מעל $R$. מסמנים מרחב וקטורי זה ב-$R_H^d[x_1,\dots ,x_n]$.
7. אם $f_1,f_2$ הם פולינומים הומוגניים ב-$n$ משתנים מעל חוג $R$ מדרגות $d_1,d_2$ בהתאמה, הפולינום $f_1\cdot f_2$ הוא פולינום הומוגני מדרגה $d_1+d_2$.
8. אם $f$ פולינום הומוגני מעל $R$ ופולינום $g$ מחלק את $f$, אז בהכרח $g$ פולינום הומוגני.

קשר בין פולינומים הומוגניים ופולינומיים כלליים

בהינתן שדה $R$ וזוג מספרים טבעיים $n,d\in \mathbb{\mathbb{N}}$, מסמנים את מרחב הפולינומים ב-$n$ משתנים מעל $R$ ומדרגה $d$ בתור $R^d[x_1,\dots ,x_n]$. זהו מרחב וקטורי מעל $R$.

באופן דומה מסמנים את מרחב הפולינומים ההומוגניים ב-$n$ משתנים מעל $R$ ומדרגה $d$ בתור $R_H^d[x_1,\dots ,x_n]$. זהו גם מרחב וקטורי מעל $R$.

ניתן להוכיח שהמרחבים $R^d[x_1,\dots ,x_n]$ ו-$R_H^d[x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}]$ הם מרחבים איזומורפיים. כלומר, כל פולינום כללי ניתן להמיר לפולינום הומוגני על-ידי הוספת משתנה אחד.

איזומורפיזם זה $\phi :R^d[x_1,\dots ,x_n]\to R_H^d[x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}]$ הוא כך שלכל $f\in R^d[x_1,\dots ,x_n]$ ולכל $x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}\in R$:

$(\phi (f))(x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}):=x_{n+1}^{d}f(\frac{x_1}{x_{n+1}},\dots ,\frac{x_n}{x_{n+1}})$

$\phi (f)$ היא בהכרח פולינום מכיוון שכל ה-$x_{n+1}$ שבמכנה מצטמצמים עם ה-$x_{n+1}^d$ שמוכפל בפולינום כולו. בנוסף, ניתן לראות כי לכל $t\in R$ מתקיים ש:

$\begin{array}{rl}(\phi (f))(t{x}_1,\dots ,t{x}_n,t{x}_{n+1})& ={\left(t{x}_{n+1}\right)}^{d}f(\frac{t{x}_1}{t{x}_{n+1}},\dots ,\frac{t{x}_n}{t{x}_{n+1}})\\ & =t^d{x}_{n+1}^{d}f(\frac{x_1}{x_{n+1}},\dots ,\frac{x_n}{x_{n+1}})\\ & =t^d(\phi (f))(x_1,\dots ,x_n,x_{n+1})\end{array}$

משמע, $\phi (f)$ הוא אכן פולינום הומוגני מדרגה $d$, כנדרש.

ניתן לשחזר את הפונקציה המקורית $f$ מתוך $\phi (f)$ על ידי הצבת $x_{n+1}=1$:

$(\phi (f))(x_1,\dots ,x_n,1)=1^{d}f(\frac{x_1}{1},\dots ,\frac{x_n}{1})=f(x_1,\dots ,x_n)$.

דוגמה

בהינתן הפולינום הכללי:

$f(x,y,z)=5x^5{y}^2+12x{z}^3+3$

זהו פולינום לא הומוגני מדרגה 7. ניתן להשתמש ב-$\phi$ כדי ליצור פולינום חדש $g:=\phi (f)$. הפולינום $g$ הוא פולינום הומוגני מדרגה 7 ב-4 משתנים, ונוסחתו המפורשת היא:

$\begin{array}{r}g(x,y,z,t)=(\phi (f))(x,y,z,t)\\ =t^{7}f(\frac{x}{t},\frac{y}{t},\frac{z}{t})\\ =t^7(5{\left(\frac{x}{t}\right)}^5{\left(\frac{y}{t}\right)}^2+12\left(\frac{x}{t}\right){\left(\frac{z}{t}\right)}^3+3)\\ =5x^5{y}^2+12x{z}^3{t}^3+3t^7\end{array}$

ניתן לראות כי זהו פולינום הומוגני מדרגה 7 מכיוון וסכום החזקות בכל מונום הוא 7.

יריעות אלגבריות פרויקטיביות

ערך מורחב – יריעה אלגברית פרויקטיבית

בהינתן שדה $R$, זוג מספרים טבעיים $n,d\in \mathbb{\mathbb{N}}$ ופולינום הומוגני $f$ מעל $R$ ב-$n$ משתנים ומדרגה $d$, ניתן לשים לב כי לכל $\lambda ,x_1,\dots ,x_n\in R$ מתקיים ש:

$f(x_1,\dots ,x_n)=0⟺f(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)=0$

בהינתן מרחב פרויקטיבי $P$ מממד $n-1$, הקואורדינטות ההומוגניות $[x_1:\dots :x_n]$ מייצגות את אותה הנקודה כמו $[\lambda x_1:\dots :\lambda x_n]$. כלומר, במרחב זה התאפסות הפולינום $f$ בנקודה מסוימת לא תלויה בבחירת הנציג עבור הקואורדינטות ההומוגניות שלה, זאת על אף שהערך של $f$ בנקודות אחרות עלול להיות תלוי בבחירה בנציג.

עבור קבוצה $S\subseteq R_H[x_1,\dots ,x_n]$ מסמנים: ${𝒱}(S):=\{(x_1,\dots ,x_n)\in R^n\mid \mathrm{\forall }f\in S,f(x_1,\dots ,x_n)=0\}$. קבוצת הנקודות שהקואורדינטות ההומגניות שלהן מהוות קבוצה מהצורה ${𝒱}(S)$ נקראת יריעה אלגברית פרויקטיבית. יריעות אלו נחקרות במסגרת הגאומטריה האלגברית, ובפרט גאומטריה פרויקטיבית.

לדוגמה, אוסף הנקודות במרחב הפרויקטיבי ה-$n$ ממדי הממשי שהקואורדינטות ההומוגניות שלהן מאפסות את הפולינום ההומוגני $x_1^2+\dots +x_n^2-x_{n+1}^2$ הומיאומורפי לספירה $n-1$ ממדית.

כל מרחב אפיני $n$ ממדי ניתן להמיר למרחב פרויקטיבי $n$ ממדי על ידי הוספת מרחב פרויקטיבי $n-1$ ממדי באינסוף. כאשר מבצעים את מעבר זה, כל יריעה אפינית הופכת ליריעה פרויקטיבית על-ידי המרת כל פולינום כללי לפולינום הומוגני באמצעות הפונקציה $\phi$ שהוגדרה לעיל. כלומר, היריעה האפינית ${𝒱}(S)$ במרחב האפיני הופכת ליריעה הפרויקטיבית ${𝒱}(\phi (S))$ במרחב הפרויקטיבי.

ראו גם

• פונקציה הומוגנית
• קואורדינטות הומוגניות

קישורים חיצוניים

• פולינום הומוגני, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פולינום הומוגני40440892Q1474074