מרחב נורמלי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בטופולוגיה, נורמליות ותכונת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_4} הן דוגמאות לסוג חזק יחסית של תכונות הפרדה. מרחב נורמלי הוא מרחב טופולוגי המפריד בין קבוצות סגורות זרות, באמצעות סביבות פתוחות. מרחב נורמלי שבו כל נקודה מהווה קבוצה סגורה, נקרא מרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_4} .

מרחב טופולוגי הוא נורמלי, אם לכל שתי קבוצות סגורות וזרות A ו- B, קיימות קבוצות פתוחות וזרות המכילות אחת את A ואחת את B. תכונה זו נקראת 'הפרדה בין קבוצות סגורות בקבוצות פתוחות'. ניסוח שקול: לכל קבוצה סגורה F וקבוצה פתוחה G כך ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ F \subset G} , קיימת קבוצה פתוחה V שעבורה הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ F\subset V\subset {\overline {V}}\subset G} .

אם מתקיים גם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_1} אז כל מרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_4} הוא מרחב T3, שבו אפשר להפריד באמצעות קבוצות פתוחות בין קבוצה סגורה לנקודה, ולכן גם מרחב האוסדורף, שבו אפשר להפריד בין נקודות.

הלמה של אוריסון קובעת שבמרחב נורמלי אפשר להפריד בין קבוצות סגורות וזרות באמצעות פונקציה רציפה, כלומר: לכל A ו- B סגורות וזרות, קיימת פונקציה רציפה מן המרחב לקטע היחידה [0,1], כך ש- ו- הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(B)=1} . מכאן נובע שמרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_4} הוא מרחב טיכונוף (הקרוי גם מרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_{3\frac{1}{2}}} ), ובפרט מרחב רגולרי לחלוטין.

את הלמה של אוריסון ניתן לראות כאילו היא מאפשרת להרחיב את הפונקציה המקבלת את הערך 0 בקבוצה A ואת הערך 1 בקבוצה B, לפונקציה רציפה המוגדרת על כל המרחב. משפט טיטצה מהווה הכללה של למה זו, בכך שהוא מאפשר להרחיב כל פונקציה רציפה: אם M קבוצה סגורה במרחב נורמלי, אז לכל פונקציה רציפה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f: M \to [0,1] \ \mbox{or} \ \mathbb{R}} קיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \phi : X \to [0,1] \ \mbox{or} \ \mathbb{R}} כך ש הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \forall x \in M : \phi (x) = f(x)} .

כל מרחב האוסדורף קומפקטי הוא מרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_4} . חשיבותם הרבה של מרחבי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_4} נובעת מן המשפט של אוריסון: כל מרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T_4} המקיים את אקסיומת המנייה השנייה, הוא מטריזבילי (כלומר: הטופולוגיה שלו מושרית על ידי מטריקה מתאימה).

מכפלות

הישר של סורגנפריי S הוא מרחב לינדלף נורמלי, ועם זאת מרחב המכפלה אינו נורמלי. בעיית Dowker (מ-1951) שאלה האם ייתכן מרחב נורמלי X כך ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \times [0,1]} אינו נורמלי. דוגמה למרחב כזה ניתנה על ידי M.E.Rudin ב-1971. עדיין לא ידוע מה העוצמה המינימלית של דוגמה נגדית.

ראו גם


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0