משוואת הגז האידיאלי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משוואת הגז האידיאליאנגלית: Ideal Gas Law) היא משוואת מצב, המתארת את היחס בין המשתנים האקסטנסיביים והאינטנסיביים של גז אידיאלי. המשתנים אשר לוקחים חלק במשוואה הם הלחץ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} , הטמפרטורה המוחלטת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} , נפח הגז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} וכמות הגז במולים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . המשוואה מתוארת בצורה הבאה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV=nRT} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא קבוע הגזים האוניברסלי.
המשוואה תקפה עבור גזים אידיאליים - גזים היפותטיים המורכבים ממולקולות שאינן מבצעות אינטראקציה ביניהן, כלומר כל מולקולה נעה באופן עצמאי מיתר המולקולות בגז. גזים אלו אינם בהכרח מכילים חלקיקים נקודתיים ללא מבנה פנימי, אלא עשויים להיות מורכבים ממולקולות פולי-אטומיות עם דרגות חופש סיבוביות, ויברציוניות וחשמליות. משוואת הגז האידיאלי מתארת את תנועת מרכזי המסה של המולקולות, אשר אכן יכולים להחשב כמסות נקודתיות. לעומת זאת, עבור תכונות אחרות של גז אידיאלי כמו אנטרופיה, למבנה הפנימי של המולקולות תיתכן השפעה.

משוואת הגז האידיאלי מהווה קירוב טוב לחישוב תכונות החומר של גזים רבים והתנהוגתם תחת שלל תנאים ועבור טווח רחב של ערכים, כל עוד שילוב ערכי הטמפרטורה והלחץ רחוק מספיק מהערכים עבורם נוצרת התעבות או המראה. למרות זאת, משוואה זו אינה מציינת אם גז מתקרר או מתחמם תחת דחיסה או התפשטות. גז אידיאלי מסוגל להשאר באותה טמפרטורה בתהליכים אלו, אך רוב הגזים אינם אידיאליים ומקיימים את אפקט ג'ול תומסון.

רקע היסטורי

העבודה הראשונית על התנהגותם של גזים החלה באירופה בחציה השני של המאה ה-17 על ידי רוברט בויל. בשנת 1662 הוא ניסח את חוק בויל, אשר אומת מאוחר יותר באופן עצמאי בדיוק רב על ידי אדם מריוט ולכן החוק נקרא כיום חוק בויל-מריוט.[1] עבודתם על אוויר בלחצים נמוכים הניבה את היחס ההופכי בין הלחץ לנפח, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=\frac KP} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K} קבוע הנקבע עבור כמות חלקיקי הגז וטמפרטורה קבועים.
בסוף המאה ה-17 הפיזיקאי הצרפתי גיליאם אמונטונס חקר את היחס בין הלחץ והטמפרטורה בגזים. אף על פי שתוצאותיו לקו בחוסר דיוק, הוא הצליח לקבוע כי לחץ גז גדל בקירוב בשליש בין טמפרטורה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0 ^{\circ}C} לטמפרטורת הרתיחה של מים.[2] עבודתו הכינה את הקרקע עבור ז'וזף לואי גה-ליסאק, אשר ניסח ב-1802 את חוק גה-ליסאק לפיו עבור גז הנמצא בנפח קבוע, הלחץ והטמפרטורה נמצאים ביחס ישר, כלומר - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P \propto T} .[3] בנוסף לכך, ב-1787 נוסח חוק שארל על ידי הפיזיקאי ז'אק שארל הקובע כי בלחץ קבוע, נפחה של כמות נתונה של גז גדל ככל שהטמפרטורה גדלה, כלומר מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V \propto T} .[4][5]
בשנת 1811, הכימאי האיטלקי אמדאו אבוגדרו, ניסח על בסיס חוק גה-ליסאק את חוק אבוגדרו אשר קובע כי נפחים שווים של גזים כלשהם תחת אותם תנאי טמפרטורה ולחץ מכילים את אותו מספר המולקולות.[6]
ב-1833 אמיל קלפרון איחד את עבודתם של בויל, מריוט, שארל וגה-ליסאק למשוואת מצב אחת עבור גז אידיאלי : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV=R_0T} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_0} היה קבוע התלוי בסוג הגז.[7]
בשנת 1845 הנרי ויקטור רנו הפך את משוואתו של קלפרון למשוואה הידועה כיום - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV=nRT} , בכך שהפעיל את חוק אבוגדרו עבור נפח של מול אחד של גז אידיאלי.
חוק בויל, חוק שארל, חוק גה-ליסאק וחוק אבוגדרו הובילו אל משוואת הגז האידיאלי אשר נמצאת בשימוש כיום, אך כל אחד מהם מייצג מקרה מיוחד של המשוואה. חוק בויל מתאר את המשוואה תחת תהליך איזותרמי, חוק שארל תחת תהליך איזוברי, חוק גה-ליסאק תחת תהליך איזוכורי וחוק אבוגדרו עבור תהליך בו כמות החומר קבועה.

המשוואה

הצגה סטנדרטית

למשוואת הגז האידיאלי ישנן מספר הצגות שונות. שתי ההצגות הנפוצות ביותר הן:[8]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV=nRT=Nk_BT}

כאשר:

  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} - לחץ הגז
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} - נפח הגז
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} - מספר המולים בגז
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} - קבוע הגזים האוניברסלי
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} - מספר חלקיקי הגז
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B} - קבוע בולצמן
  • T - הטמפרטורה המוחלטת של הגז

קבוע הגזים האוניברסלי הוא בקירוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R= 8.314 \frac J {K\cdot mol}} וערכו של קבוע בולצמן הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B = 1.38 \times 10^{-23} \frac J K} .
ביחידות SI - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} נמדד בפסקל, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} נמדד במ"ר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} נמדד במולים ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} נמדד בקלווין.

הצגה מולרית

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV=\rho\frac{R}{M}T = \rho R_{specific}T}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle M} המסה המולרית של הגז ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \rho} הצפיפות.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle R_{specific}} הוא קבוע הגז הספציפי המוגדר בתור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac RM} וערכו משתנה עבור גזים שונים.

הניסוח הנ"ל מתקבל מכך שמספר המולים הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=\frac mM=\frac {\rho}{VM}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} היא המסה הכוללת של הגז.

על ידי הצבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} בהצגה הסטדנרטית מתקבלת ההצגה המולרית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV=nRT=\frac mMRT}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=\frac mV \frac{RT}{M}=\rho\frac{R}{M}T}

משוואת הגז המשולבת

משילוב של חוק בויל, חוק שארל וחוק גה-ליסאק מתקבלת משוואת הגז המשולבת.[9]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {PV}{T} =k}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} קבוע כלשהו.

כלומר, היחס בין מכפלת הנפח והלחץ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV} , לטמפרטורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} ע"פ החוקים הנ"ל הוא קבוע.

הצגה נוספת של המשוואה המשולבת מתייחסת לגדלים הללו לפני ואחרי שתהליך התרחש בגז:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {P_1V_1}{T_1} =\frac {P_2V_2}{T_2}}

כאשר אגף שמאל מתאר את היחס בו נכללים הנפח, הלחץ והטמפרטורה ההתחלתיים, ואגף שמאל מתאר את היחס עם הגדלים הללו לאחר התהליך.

הצגה בממדים גבוהים

משוואת הגז האידיאלי תקפה גם כאשר מדובר במערכת בעלת יותר משלושה ממדים.[10]

המשוואה עבור מערכת כזו היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P^{(d)}=\frac{Nk_BT}{V^d}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V^d} הוא הנפח ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d} -ממדי.

ניתן לראות משיקולי יחידות כי גם הלחץ משתנה עם מספר הממדים.

פיתוחים

פיתוח אמפירי

החוקים אשר קדמו למשוואת הגז האידיאלי המוכרת כיום והובילו לפיתוחה, התגלו באמצעות ניסויים בהם שינו רק שניים מהמשתנים של הגז, בעוד יתר המשתנים נשארו קבועים.

קובץ:Ideal gas law relationships.svg
היחסים השונים בין חוקי הגז האידיאלי.

החוקים הללו הם:

(1) חוק בויל מריוט - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle PV={C_1} \longleftrightarrow P_1V_1=P_2V_2} .

(2) חוק גה-ליסאק - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac PT =C_2 \longleftrightarrow \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}} .

(3) חוק שארל - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac VT =C_3 \longleftrightarrow \frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}} .

(4) חוק אבוגדרו - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac VN =C_4 \longleftrightarrow \frac{V_1}{N_1} = \frac{V_2}{N_2}} .

(5) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle NT=C_5 \longleftrightarrow{N_1}{T_1}={N_2}{T_2} } .

(6) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac PN=C_6 \longleftrightarrow\frac {P_1}{N_1}=\frac{P_2}{N_2} } .

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P} הוא הלחץ, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} הנפח, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} הטמפרטורה ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} מספר החלקיקים.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6} אינם קבועים באופן כללי, אך בפיתוח נתייחס אליהם כך מכיוון שבכל משוואה בה ייעשה שימוש יהיה צורך רק במשתנים שצוינו במפורש.

הפיתוח מתחיל עם גז בעל המאפיינים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P_1,V_1,T_1,N_1} עליו מבצעים תהליכים אשר משנים את גודל משתנים אלו בשלבים.

תחילה משנים רק את הנפח ומספר החלקיקים, ובהתאם לחוק אבוגדרו:

(7) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{V_1}{N_1} = \frac{V_2}{N_2}}

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P_1,V_2,T_1,N_2} .

כעת משנים את הטמפרטורה והלחץ. לפי חוק גה-ליסאק:

(8) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{P_1}{T_1}=\frac{P_2}{T_2}}

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P_2,V_2,T_2,N_2} .

בשלב הבא משנים את הנפח והלחץ, ועל פי חוק בויל מריוט:

(9) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_2V_2=P_3V_3}

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P_3,V_3,T_2,N_2} .

לבסוף נשנה את הטמפרטורה ומספר החלקיקים. ממשוואה (5) מתקבל:

(10) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {N_2}{T_2}={N_3}{T_3} }

לאחר תהליך זה הגז יהיה בעל המאפיינים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P_3,V_3,T_3,N_3} .

ממכפלת משוואות (7) ו- (8) והשוואה למשוואות (9) ו-(10) מתקבל כי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{P_1V_1}{T_1N_1}=\frac{P_2V_2}{T_2N_2}=\frac{P_3V_3}{T_3N_3}=K_B}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle K_B} הוא קבוע בולצמן.

ובאופן כללי - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{PV}{TN}=K_B} .

בצורה דומה ניתן להגיע אל ההצגה המקבילה בה מופיעים מספר המולים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} וקבוע הגזים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} , על ידי שימוש בכך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle nR=NK_B} ולכן מתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV=Nk_BT=nRT}

פיתוח ניסיוני

ניתן לפתח את משוואת הגז האידיאלי על ידי שימוש בתוצאות של מדידות הטמפרטורה, הלחץ והנפח ומציאת הגבולות המתאימים.[11]

נניח כי הלחץ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} והנפח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מולים של גז המוחזקים תחת טמפרטורה קבועה כלשהי נמדדים על טווח רחב של לחצים וטווח רחב של ערכי המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Pv} .

נסמן את הנפח המולרי בתור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v=\frac Vn} .

את היחס בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Pv} ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} ניתן להביע באמצעות טור חזקות מהצורה הבאה:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Pv=A(1+BP+CP^2+...)}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A,B,C} וכו' נקראים המקדמים הויראליים והם תלויים בטמפרטורה ובאופי הגז.

בטווח הלחצים בין 0 ל-40 אטמוספירות היחס בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Pv} ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} הוא בקירוב ליניארי, כך שרק שני המקדמים הראשונים משמעותיים. באופן כללי, ככל שהלחץ גדל כך גדל גם מספר הרכיבים בטור. מהקשר בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Pv} ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} המתקבל עבור גזים שונים באותה טמפרטורה, אפשר לראות כי כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle P\to0} המכפלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Pv} היא באותו גודל עבור כל הגזים. מכך נובע כי המקדם הויראלי הראשון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא בלתי תלוי באופי הגז ולכן תלוי רק בטמפרטורה, כלומר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lim_{P\to0}(Pv)=A(T)} .

טמפרטורת הגז האידיאלי מוגדרת באמצעות הלחץ בנקודה המשולשת, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{TP}} [11], על פי הביטוי הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=273.16K \lim_{P_{TP}\to0}(\frac P {P_{TP}})}

ואת ביטוי זה ניתן לפתח על ידי מכפלה ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac Vn} של המונה והמכנה של הגבול הנ"ל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T=273.16K \lim\frac{P\frac {V} {n}} {{P_{TP}}\frac {V} {n}}= 273.16K \frac {\lim (Pv)} {\lim (Pv)_{TP}}}

וע"י שינוי הניסוח נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim(Pv)=[\frac {\lim(Pv)_{TP}} {273.16K}] T\equiv RT}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} הוא קבוע הגזים האוניברסלי.

בצעד האחרון, נחליף את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} חזרה ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac Vn} ובכך נגיע אל המשוואה הרצויה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim(PV)=nRT}

מכיוון ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \lim(Pv)=A=RT} , טור החזקות המלא הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{Pv}{RT} = 1+BP+CP^2+DP^3+...}

למקדמים הויראליים חשיבות גבוהה גם בפיזיקה תאורטית מכיוון שהם קשורים בין היתר לתכונות מולקולריות.

פיתוח באמצעות מכניקה סטטיסטית

בפיתוח זה ישנן שתי הנחות מובילות:

  1. המולקולות המרכיבות את הגז הן מערכות עצמאיות לחלוטין - הן אינן משפיעות אחת על תנועת האחרת.
  2. מעבר אנרגיה בין מולקולות הוא אפשרי, כך שהמערכת יכולה להגיע לשיווי משקל תרמי.

פונקציית החלוקה הקנונית היא פונקציה של מספר החלקיקים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N=nN_{A}} , הנפח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} והטמפרטורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} המוגדרת בצורה הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z(N,V,T)=\sum_{I}e^{-\mathcal{E}_{I}/(k_{B}T)}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_I } היא האנרגיה האפשרית ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} של הגז הכולל, כלומר האנרגיה של כל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} המולקולות.

ממכניקת הקוונטים ידוע כי לגז במיכל גדול סופי יש אנרגיות בדידות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I} הוא אינדקס בדיד המתייג את האנרגיות השונות לפי גודלן. הסכום הוא על כל הערכים העצמיים (כולל ניוון) של ההמילטוניאן המתאר את המערכת. בנוסף, האנרגיה החופשית של הלמהולץ נתונה על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=-k_BT ln Z} .

מהנחה 1 ניתן להגיד כי האנרגיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_I } הן סכומי אנרגיות של מולקולות בודדות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_i } ,כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_I=\mathcal{E}_{i_1} +\mathcal{E}_{i_2} +... }

האנרגיות הללו הן של מולקולות נפרדות הנעות בצורה עצמאית במיכל.

ניתן לרשום את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} , פונקציית החלוקה עבור המולקולות הבודדות, בצורה הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z(N,V,T)=\sum_{i}e^{-\mathcal{E}_{i}/(k_{B}T)}}

כאשר אין אינטראקציות, תחת ההנחה כי הגז מכיל סוג אחד בלבד של מולקולות, את פונקציית החלוקה הכוללת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} אפשר לבטא באמצעות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z(N,V,T)=\sum_{i_{1},i_{2},...}e^{-(\mathcal{E}_{i_{1}}+\mathcal{E}_{i_{2}}+...)/(k_{B}T)}=\sum_{i_{1}}e^{-\mathcal{E}_{i_{1}}/(k_{B}T)} \sum_{i_{2}}e^{-\mathcal{E}_{i_{2}}/(k_{B}T)}...=z^N}

הניסוח הנ"ל אינו מדויק לחלוטין מכיוון שבמכניקת הקוונטים מולקולות גז מאותו הסוג הן חלקיקים זהים, בדיוק כמו אלקטרונים, ולכן נדרש פקטור של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \frac 1 {N!}} בכדי להימנע מספירה חוזרת. כלומר הביטוי המלא הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle Z=\frac {z^N}{N!}} .

את הנפח ניתן להביע באמצעות משוואות המצב של האנרגיה החופשית של הלמהולץ כך שמתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P= \Bigl(\frac {\partial F}{\partial V}\Bigr)_{N,T}=k_{B}T\Bigl(\frac {\partial \ln{Z}}{\partial V}\Bigr)_{N,T}= k_{B}T\Bigl(\frac {\partial (N\ln{z}-\ln{N!})}{\partial V}\Bigr)_{N,T}=Nk_{B}T\Bigl(\frac {\partial \ln{z}}{\partial V}\Bigr)_{N,T}}

לפי המכניקה הקלאסית ומכניקת הקוונטים, את האנרגיה המולקולרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_i } המאפיינת את המצב המיקרוסקופי ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i } ניתן להפריד במדויק לשני רכיבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_i=\mathcal{E}_{i}^{trans}+\mathcal{E}_{i}^{int} } , כאשר:

  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_{i}^{trans} } - האנרגיה הטרנסלציונית של מרכז המסה של המולקולה.
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_{i}^{int} } - האנרגיה הפנימית של המולקולה.

לכן, גם את פונקציית החלוקה של אותו מצב מיקרוסקופי ניתן להביע בצורה דומה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_i=\mathcal{E}_{i}^{trans}+\mathcal{E}_{i}^{int} \Longrightarrow z=z^{trans}z^{int} }

האנרגיה הפנימית של המולקולה אינה תלויה בנפח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V } , אך האנרגיה הטרנסלציונית כן תלויה ולכן יתקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=Nk_{B}T\Bigl(\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V} + \frac {\partial \ln z^{int}}{\partial V}\Bigr) =Nk_{B}T\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V} }

האנרגיה הטרנסלציונית של מולקולה אחת הנעה בקופסה בנפח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V } היא בעיה הניתנת לפתירה בצורה אנליטית. כלומר הפתרון של האנרגיות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_{i}^{trans} } ידוע בדיוק מוחלט והוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{E}_{n}^{trans}=\frac {\hbar^2} {2m} \Bigl(\frac \pi L\Bigr)^2 n^2=\frac {\hbar^2} {2m} \Bigl(\frac \pi L\Bigr)^2 (n_x^2+n_y^2+n_z^2) }

תחת ההנחה כי נפח הקופסה הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle V=L^3 } ומכיוון שמדובר בשלושה ממדים מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle n^2=(n_x^2+n_y^2+n_z^2) } .

בקירוב דיי טוב, ניתן להחליף את הסכום המופיע בביטוי עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^{trans} } באינטגרל כך ש,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z^{trans}\equiv \sum_{n} e^{-\mathcal{E}_{n}^{trans}/(k_BT)}= \sum_{n_x,n_y,n_z=1}^\infty e^{-\frac {\hbar^2} {2mk_BT} (\frac {\pi}{L})^2(n_x^2+n_y^2+n_z^2)}= \biggl(\sum_{n=1}^\infty e^{-\frac {\hbar^2} {2mk_BT} (\frac {\pi}{L})^2n^2}\biggr)^3 \simeq \int_0^{\infty}e^{-\alpha^2x^2}dx=\frac{\pi^{\frac 32}} {8\alpha^3}\equiv n_QV }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle \alpha^2 =\frac {\hbar^2} {2mk_BT} \Bigl(\frac \pi L \Bigr)^2 , n_Q=\Bigl(\frac{mk_BT}{2\pi\hbar^2}\Bigr)^{\frac 32} } .

נשים לב לכך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_Q } אינו תלוי בנפח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V } ולכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=Nk_{B}T\frac {\partial \ln z^{trans}}{\partial V}= Nk_{B}T\Biggl(\frac {\partial (\ln V+\ln{n_Q})}{\partial V}\Biggr)= \frac {Nk_{B}T} {V}}

כעת ניתן לקבל את משוואת הגז האידיאלי המלאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle PV=Nk_BT}

פיתוח קינטי

נסתכל על קובייה בעלת צלע באורך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} המלאה בגז אידיאלי בלחץ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} בטמפרטורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} .

נסמן את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} בתור מספר המולים ומספר מולקולות הגז בקובייה בהתאמה.

בנוסף, נסמן את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} בתור מסת מולקולת גז ואת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} בתור מסת הגז כולו.

נניח בפיתוח זה כי כל ההתנגשויות המתרחשות בתוך המיכל הן התנגשויות אלסטיות - כלומר אין איבוד אנרגיה קינטית כתוצאה מהתנגשויות.

קביעת תדירות ההתנגשויות

קובץ:Kinetic der.jpg
תנועת המולקולה בקופסה בכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat x} בזמנים השונים. הדופן הרלוונטית לפיתוח היא הדופן הימנית של הקופסה.

תחילה, נרצה למצוא את התדירות בה מולקולה יחידה מתנגשת בדופן מסוימת של המיכל.

נתחיל לשם הפשטות בבחינת המתרחש בכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat x} כאשר המולקולה בזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t=0} נמצאת במיקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=L-L_0} ומהירותה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec v = v_x \hat x} .

המולקולה תתנגש בדופן הקובייה לראשונה ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=L} לאחר שעברה מרחק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L_0} בזמן כלשהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1} .

ההתנגשות השנייה באותה הדופן תתרחש בזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_2=t_1+t_{2L}} כאשר המרחק שעברה המולקולה בין שתי ההתנגשויות הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2L} ואינטרוול הזמן בין שתי ההתנגשויות הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t=(t_1+t_{2L})-t_1=t_{2L}} .

באופן דומה ההתנגשות השלישית תתרחש בזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_3=t_1+2t_{2L}} , כך שהמרחק שהמולקולה עברה בין ההתנגשויות יהיה גם כן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2L} ואינטרוול הזמן ישאר זהה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t=t_3-t_2=(t_1+2t_{2L})-(t_1+t_{2L})=t_{2L}}

שני הגדלים הללו, המרחק ואינטרוול הזמן, ישארו זהים בין כל זוג התנגשויות עוקבות, ולכן ניתן לחשב את גודל המהירות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_x} בתור המרחק שהמולקולה עברה חלקי אינטרוול הזמן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_1 = \frac {L_0} {t_1},v_2 = \frac {2L} {t_{2L}},v_3 = \frac {2L} {t_{2L}},... }

מכיוון שכל ההתנגשויות אלסטיות ואין כוחות חיצוניים, המהירות אינה משתנה במהלך תנועת המולקולה ולכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_1 = v_2 = v_3 = ... = v_x }

מכאן ניתן לנסח את אינטרוולי הזמן בין כל זוג התנגשויות עוקבות גם בצורה הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t_1 = t_1= \frac {L_0} {v_1}=\frac {L_0} {v_x} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t_2 = t_{2L}=\frac {2L} {v_2}=\frac {2L} {v_x} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t_3 = t_{2L}=\frac {2L} {v_3}=\frac {2L} {v_x} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ... }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta t_k = t_{2L}=\frac {2L} {v_k}=\frac {2L} {v_x} }

הזמן הממוצע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{avg}} בין התנגשויות לאחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} התנגשויות יהיה:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{avg}=\frac{t_1+t_2+t_3+...+t_k} {k} = \frac{\frac {L_0}{v_x}+{2L}{v_x}+{2L}{v_x}+...+{2L}{v_x}} {k}= \frac{\frac {L_0}{v_x}+\frac {2L}{v_x} \cdot(k-1)} {k}=\frac{L_0+2L \cdot(k-1)} {kv_x}}

וכאשר מספר ההתנגשויות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} שואף לאינסוף נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_{avg}=\lim_{k\to\infty}{\frac{L_0+2L \cdot(k-1)} {kv_x}}=\frac{2L}{v_x}}

זהו הזמן הממוצע בין התנגשויות המתרחשות על דופן אחת. תדירות ההתנגשויות אם כך תהיה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f=\frac{1}{t_{avg}}=\frac {v_x}{2L}}

חישוב הכוח הפועל על הדופן

הכוח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} מוגדר כקצב שינוי התנע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p}  :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=f\Delta p}

השינוי בתנע הוא ההפרש בין התנע לפני ההתנגשות בדופן לתנע לאחר ההתנגשות, כלומר:

הכוח שהדופן מפעילה על המולקולה הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{wm}=f\Delta p= -2mv_xf}

לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח שהמולקולה תפעיל על הדופן יהיה שווה בגודלו ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle F_{wm}} והפוך בסימנו, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{mw}=-F_{wm}= 2mv_xf}

ניתן כעת להציב את התדירות שחושבה קודם לכן ולקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{mw}=2mv_x\cdot \frac {v_x}{2L}=\frac {mv^2_x}{L}}

עד לשלב זה התייחסנו רק למקרה בו קיימת מולקולה יחידה. כאשר הכוח יופעל על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\textstyle N} מולקולות הנעות בכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat x} הוא יהיה מהצורה הבאה:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{N}=\frac {mv^2_{x_1}}{L}+\frac {mv^2_{x_2}}{L}+\frac {mv^2_{x_3}}{L}+...+\frac {mv^2_{x_N}}{L}=\frac mL(v^2_{x_1}+v^2_{x_2}+v^2_{x_3}+...+v^2_{x_N})=\frac mL \biggl(\sum_{i=1}^N v^2_{x_i}\biggr)}

מהירות RMS מוגדרת בצורה הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_{rms}^2=\bar v^2=\frac 1N \biggl(\sum_{i=1}^N v^2_{x_i}\biggr)}

ולכן ניתן להביע את הכוח המופעל על הדופן גם כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F_{N}=\frac {Nm\bar v^2} L}

מציאת לחץ הגז

הגדרת הלחץ הפועל על הדופן הוא הכוח שמופעל עליה בידי הגז ליחידת שטח, כלומר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=\frac {F_{N}}{A}=\frac {Nm\bar v_x^2} {L^3}=\frac {Nm\bar v_x^2} {V}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A=L^2} שטח דופן הקובייה ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=L^3} נפח הקובייה.

לאורך הפיתוח התייחסנו רק לתנועת מולקולות בכיוון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat x} , כעת נשלב גם את תרומת תנועת המולקולות בשני הכיוונים הנותרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat y ,\hat z} .

הקשר בין רכיבי הכיוונים השונים של מהירות ה- RMS ניתן לביטוי ע"י:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar v^2=\bar v_x^2+\bar v_y^2+\bar v_z^2}

כאשר בקירוב גודל שלושת הרכיבים הוא שווה - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar v_x^2=\bar v_y^2=\bar v_z^2} , לכן נקבל כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar v^2=3\bar v_x^2} .

כאשר נחליף את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar v_x^2} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar v^2} בביטוי ללחץ נקבל כי הלחץ הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=\frac {Nm\bar v^2} {3V}}

חישוב אנרגיית הגז האידיאלי

האנרגיה הקינטית הנתונה מהמכניקה הקלאסית היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_k=\frac12m \bar v^2}

האנרגיה הקינטית עבור גז מונואטומי הידועה ממכניקה סטטיסטית נתונה על יד:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_k=\frac 32 k_BT}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B} הוא קבוע בולצמן ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} טמפרטורת הגז.

השוואת שני הביטויים לעיל מניבה את הקשר בין מהירות ה-RMS לטמפרטורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 3k_BT= m\bar v^2}

מציאת משוואת הגז האידיאלי

על ידי שילוב שני הקשרים שנמצאו בשלבים הקודמים, ניתן להגיע לביטוי הרצוי של משוואת הגז האידיאלי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P=\frac {Nm\bar v^2} {3V}=\frac {3Nk_BT} {3V}}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow PV={Nk_BT}}

בנוסף, מהביטוי שהתקבל ניתן לנסח את מהירות ה- RMS כמשוואה המכילה גדלים מדידים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar v^2=\frac {3PV} {mN} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Rightarrow v_{rms}=\bar v = \sqrt{\frac {3PV}{M}}=\sqrt{\frac {3nRT}{M}}=\sqrt{\frac {3RT}{M_w}}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_w} היא המסה המולקולרית של הגז האידיאלי.

שימושים בתחום הרפואה

למשוואת הגז האידיאלי ונגזרותיה שימושים גם בתחום הרפואה.

השפעת הגובה על נפח גזים בגוף האדם

באמצעות חוק בויל ניתן לתאר את השפעת הגובה מעל פני הים על גזים בחללים סגורים בגוף האדם, ולחשב את לחץ הגז הכולל בחלל בית החזה באמצעות פלטיזמוגרפיה.

כאשר הגובה גדל, הלחץ האמביינטי יורד ולכן על פי חוק בויל נפח החללים הסגורים אמור להתרחב.

במודל מלאכותי שהיווה העתק של מערכת הנשימה האנושית עם חזה אוויר של 40 מיליליטר, נצפתה עליה בנפח בטווח של 16.2%-12.7% בגובה של כ־1500 מטר מגובה פני הים.[12] לתוצאה זו חשיבות רבה במקרים בהם נדרש פינוי של החולה בהליקופטר וחזה האוויר עלול לעבור למצב של חזה אוויר בלחץ, תרחיש אשר ניתן למנוע על ידי ביצוע ניקור חזה לפני ההמראה.

בגובה של 2.5 ק"מ מעל גובה פני הים משוערת התרחבות של עד כ-30% עבור נפח גז סגור בגוף האדם.

באמצעות חוק בויל - , ניתן לחשב את השינוי הצפוי לנפח עבור בגבהים השונים.

לדוגמה, עבור חולה עם חזה אוויר של 40 מיליליטר בגובה פני הים, נחשב את השינוי בנפח כאשר יגיע לגובה של 1500 מטר.

הנתונים הידועים הם:

מהצבה בחוק בויל נקבל:

ריכוז חומרי הרדמה

חוק הגז האידיאלי יכול לשמש לחישוב ריכוז חומרי הרדמה בתערובות גזים.[13]

מכשירים המיועדים לניטור ריכוז חומרי הרדמה בתערובת גזים לרוב מציגים את התוצאה בחלק היחסי באחוזים מהנפח הכולל, המוגדר בצורה הבאה:

כאשר:

  • - נפח חומר ההרדמה.
  • הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_{tot}} - הנפח הכולל של תערובת הגזים.

כשרוצים לחשב את ההשפעה של חומר הרדמה על נפח נתון של גז, הגדרה זו אינה שימושית כל כך. הגודל המשמעותי הוא מספר המולקולות, או מספר המולים, של חומר ההרדמה המוכלים ביחידת נפח של תערובת הגז. עבור גז אידיאלי ההגדרה לעיל של החלק היחסי מהנפח הכולל עובדת כנדרש, זאת מכיוון שעל פי משוואת הגז האידיאלי בלחץ וטמפרטורה קבועים יחידת נפח של הגז תכיל תמיד את אותו מספר המולים. במילים אחרות, כאשר הלחץ והטמפרטורה קבועים, נפח הגז פרופורציונלי למספר המולים.

לכן, את ריכוז חומר ההרדמה בתערובות ניתן לתאר באחוזים ממספר המולים הכולל, כלומר:

במקרים בהם משוואת הגז האידיאלי אינה שמישה, המשוואה שיש להשתמש בה היא משוואת הגז הריאלי (באנגלית: Real Gas Law):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {PV}{nRT}=Z}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z} הוא פקטור הקומפרסיביליות, המתאר את היחס בין הנפח האמיתי של הגז לנפח המחושב באמצעות משוואת הגז האידיאלי. לכן, עבור גז אידיאלי מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z=1} .

כאשר משתמשים במשוואת הגז הריאלי, אין זה שימושי בחלק היחסי מהנפח כמדד לריכוז - מספר המולים והנפח אינם פרופורציונליים במקרה זה ולכן אין שויון בין החלק היחסי מהנפח הכולל לחלק היחסי ממספר המולים הכולל.

בכדי שהשימוש בחלק היחסי מהנפח יהיה תקין, יש צורך למצוא את פקטור הקומפרסיביליות - אם הוא שווה ל-1 או קרוב ברמת הדיוק הרצויה ל-1 ניתן להשתמש במשוואת הגז האידיאלי לחישוב הריכוז. אם לא, יש להשתמש במדד של מספר מולים ליחידת נפח בתערובת.

בניסוי בו מדדו את פקטור הקומפרסיביליות עבור תערובות של חמצן עם חומרי ההרדמה איזופלורן, אנפלורן והלותאן בטמפרטורת החדר ולחץ אטמוספירי, נמצא כי ניתן לתאר את ריכוז חומרי ההרדמה באמצעות משוואת הגז האידיאלי עם אי ודאות של 0.3%.

לכן, באופן כללי אין צורך להתחשב בסטייה ממשוואת הגז האידיאלי והחלק היחסי מהנפח הוא מדד תקין לחישוב ריכוז חומר ההרדמה בתערובת.

ראו גם

קריאה נוספת

  • Herbert B. Callen, Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, Second Edition, University of Pennsylvania: John Wiley & Sons
  • Mark W. Zemansky & Richard H. Dittman, Heat and Thermodynamics, Seventh Edition, New York: McGraw-Hill, מסת"ב 0-07-017059-2

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ Robert Boyle, A defence of the doctrine touching the spring and weight of the air, propos'd by Mr. R. Boyle in his New Physico-Mechanical Experiment... by the author of those experiments, London: Printed by F. G. for Thomas Robinson, 1662, עמ' 57-68
  2. ^ Académie des sciences (France) Auteur du texte, Histoire de l'Académie royale des sciences ... avec les mémoires de mathématique & de physique... tirez des registres de cette Académie (עמ' 112-126), Gallica, ‏1699 (בצרפתית)
  3. ^ Joseph Louis Gay-Lussac, Science History Institute, ‏2016-06-01 (באנגלית)
  4. ^ Matt Williams, Charles Law, Universe Today, ‏2010-12-03 (ב־American English)
  5. ^ Gay-Lussac, web.lemoyne.edu
  6. ^ Journal de physique, de chimie, d'histoire naturelle et des arts, Fuchs, 1811, עמ' 58-76. (בצרפתית)
  7. ^ Émile Clapeyron, Journal de l'Ecole royale polytechnique, la République, 1833, עמ' 153-190. (בצרפתית)
  8. ^ C. J. Adkins, Clement John Adkins, Equilibrium Thermodynamics, Cambridge University Press, 1983-07-14, מסת"ב 978-0-521-27456-2. (באנגלית)
  9. ^ Kenneth W. Raymond, General Organic and Biological Chemistry, John Wiley & Sons, 2009-12-14, עמ' 186, מסת"ב 978-0-470-50476-5. (באנגלית)
  10. ^ Siti Khotimah, Partition function of 1-, 2-, and 3-D monatomic ideal gas: A simple and comprehensive review
  11. ^ 11.0 11.1 Mark W. Zemansky & Richard H. Dittman, 5, Heat and Thermodynamics, Seventh Edition, עמ' 106-108
  12. ^ Derek Knotts, Annette O. Arthur, Peyton Holder, Tim Herrington, Pneumothorax volume expansion in helicopter emergency medical services transport, Air Medical Journal 32, 2013-05, עמ' 138–143 doi: 10.1016/j.amj.2012.10.014
  13. ^ P. L. Christensen, J. Nielsen, T. Kann, Methods to produce calibration mixtures for anesthetic gas monitors and how to perform volumetric calculations on anesthetic gases, Journal of Clinical Monitoring 8, 1992-10, עמ' 279–284 doi: 10.1007/BF01617909
Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0