משפט הפירוק של ויירשטראס

באנליזה מרוכבת, משפט הפירוק לגורמים של ויירשטראס קובע כי כל פונקציה שלמה ניתן לייצג כמכפלה שמערבת את האפסים שלה. בנוסף, לכל סדרה השואפת לאינסוף ניתן לבנות פונקציה שלמה אשר האפסים שלה הם איברי הסדרה.

באופן רחב יותר, כל פונקציה מרומורפית אפשר לייצג כמכפלה המערבת את האפסים שלה, הקטבים שלה ועוד פונקציה הולומורפית שונה מ-0 הקשורה אליה.

המשפט קרוי על שם קארל ויירשטראס.

מוטיבציה

מהמשפט היסודי של האלגברה נובע שכל פולינום ניתן להציג בצורה: $p (z) = a \prod_{i = 1}^{n} (z - a_{i})$ כאשר $a_{1}, \dots, a_{n}$ הם האפסים (או השורשים) של הפולינום. כמו כן, לכל סדרה סופית $a_{1}, \dots, a_{n}$ קיים פולינום יחיד (עד כדי כפל בקבוע) שאלו אפסיו.

משפט הפירוק של ויירשטראס מכליל תוצאה זו לפונקציות שלמות כלליות ולסדרות אינסופיות של אפסים.

מכיוון שמכפלה אינסופית לא בהכרח מתכנסת, הרחבת המשפט היסודי של האלגברה באופן זה אינה מיידית. תנאי הכרחי להתכנסות של מכפלה אינסופית של מספרים הוא שערכם המוחלט ישאף ל-1. לכן, אם אנו רוצים ש- $\prod_{n} (z - a_{n})$ יתכנס, אנו רוצים פונקציה שערכה המוחלט יישאר ליד 1 כאשר היא מקבלת קלטים בסביבת השורשים שלה.

הגורמים האלמנטרים

הגורמים האלמנטריים מוגדרים באופן הבא:

E_{n} (z) = {\begin{cases} (1 - z) & if n = 0 \\ (1 - z) e^{(\frac{z^{1}}{1} + \frac{z^{2}}{2} + \dots + \frac{z^{n}}{n})} & otherwise \end{cases}

לכל $n$ טבעי.

חשיבותם של הגורמים האלמנטריים מודגמת בלמה הבאה:

| 1 - E_{n} (z) | \leq | z |^{n + 1}

עבור $| z | \leq 1$ . נקבל שלכל נקודה בדיסק היחידה, מתקיים $E_{n} (z) = 1 + O (| z |^{n})$ באנלוגיה לשארית של טור טיילור.

שתי הצורות של המשפט

קיומה של פונקציה שלמה עם סדרת אפסים נתונה

תהי ${(a_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ סדרת מספרים מרוכבים שונים מ-0 השואפת לאינסוף. אם ${(p_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ היא סדרת מספרים טבעיים כך שלכל $r > 0$ מתקיים: $\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{r}{| a_{n} |})}^{1 + p_{n}} < \infty$ (כלומר, הטור מתכנס בהחלט), אז הפונקציה: $f (z) = \prod_{n = 1}^{\infty} E_{p_{n}} (\frac{z}{a_{n}})$ היא פונקציה שלמה שאפסיה הם בדיוק ${(a_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ כאשר הריבוי (או הסדר) של אפס הוא מספר הופעותיו בסדרה.

יש לשים לב כי מקיום התנאי נובע שהתנאי מתקיים לכל סדרה הגדולה מ ${(p_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ כמעט בכל מקום, ולכן הפונקציה $f (z)$ איננה היחידה המקיימת את תוצאות המשפט.

משפט הפירוק של ויירשטראס

תהי $f$ פונקציה שלמה פונקציה שלמה עם אפס ב $z = 0$ מסדר $m \geq 0$ (כאשר $m = 0$ משקף את המקרה ש $z = 0$ אינו אפס של $f$ ) וסדרת אפסים ${(a_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ השונים מאפס עם חזרות בסדרה בהתאם לריבוים.

אזי ישנה פונקציה שלמה $g$ וסדרה ${(p_{n})}_{n = 1}^{\infty}$ של מספרים טבעיים כך ש:

f (z) = z^{m} e^{g (z)} \prod_{n = 1}^{\infty} E_{p_{n}} (\frac{z}{a_{n}})

^[1]

דוגמאות לפירוק לגורמים של פונקציות שלמות

$\sin π z = π z \prod_{n \neq 0} (1 - \frac{z}{n}) e^{z / n} = π z \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{z^{2}}{n^{2}})$
$\cos π z = \prod_{n \neq 0} (1 - \frac{2 z}{2 n - 1}) e^{2 z / (2 n - 1)} = \prod_{n = 1}^{\infty} (1 - \frac{4 z^{2}}{(2 n - 1)^{2}})$