משפט ז'יראר

בטריגונומטריה ספירית, משפט ז'יראר קובע שסכום הזוויות של משולש גאודזי על כדור סוטה מ-$\pi$ סטייה חיובית שערכה פרופורציוני לשטח המשולש ${\frac {A}{r^{2}}}$ , או בניסוח שקול

$A=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )r^{2}$

כאשר $r$ רדיוס הכדור.

את המשפט, שהוא המקרה הלא-טריוויאלי הפשוט ביותר של משפט גאוס-בונה, גילה והוכיח המתמטיקאי הצרפתי אלבר ז'יראר.

הוכחה

שלושת המעגלים הגדולים מחלקים את הכדור לשלושה זוגות של סהרונים

הרעיון המרכזי של ההוכחה הוא להסתכל בהשלמה של המשולש הספירי, כלומר להסתכל לא רק על קשתות המעגלים הגדולים שמהוות את צלעות המשולש, אלא על כל ההיקף שלהם, כמומחש באיור. ניתן לראות שכל שני מעגלים גדולים נפגשים בשתי נקודות אנטיפודיות, ולכן יוצרים זוג של "רצועות כדוריות", אותם נכנה סהרונים (lunes). סהרונים אלו חופפים בחלקם, כאשר אזורי החפיפה הם שני העותקים של המשולש הכדורי. מיישום עקרונות החיתוך ואיחוד של קבוצות לצורך חישוב שטח ניתן לקבל אפוא ששטח הכדור $4\pi r^{2}$ שווה לסכום שטחי שלושת זוגות הסהרונים פחות ארבע פעמים שטח המשולש הכדורי. הסיבה לכך היא שכל סהרון מכיל את שטח המשולש הכדורי, בעוד יש שני משולשים כדוריים בלבד, לכן ספרנו את השטח $A$ של המשולש הכדורי 6 פעמים כאשר יש למנות אותו פעמיים בלבד, ומכאן מגיע המחוסר $4A$ . כיוון שזווית הפתיחה של כל סהרון היא אחת מהזוויות הקודקודיות של המשולש הכדורי $\alpha ,\beta ,\gamma$ , ניתן לקבל ששטח הסהרון פרופורציוני לזווית הקודקודית המתאימה לו ושווה במדויק ${\frac {\theta }{2\pi }}\cdot 4\pi r^{2}=2\theta r^{2}$ . מהצבת כל הקשרים האלו נקבל:

$4(\alpha +\beta +\gamma )r^{2}-4A=4\pi r^{2}$

ומצמצום ב-4 והעברת אגפים נקבל את התוצאה המבוקשת:

$A=(\alpha +\beta +\gamma -\pi )r^{2}$

ראו גם

• טריגונומטריה ספירית
• משפט גאוס-בונה