על המדידה של המעגל

על המדידה של המעגל (יוונית: Κύκλου μέτρησις) הוא חיבור מאת ארכימדס. החיבור, שמכיל שלוש טענות, הוא רק חלק קטן שנותר ממה שהיה עבודה ארוכה הרבה יותר.

הטענות

טענה אחת

המעגל והמשולש שווים בשטחם

השטח של כל מעגל שווה לשטחו של משולש ישר־זוית אשר בו אחת הצלעות הסמוכות לזוית הישרה שווה לרדיוס, והאחרת להקף של המעגל

כל מעגל עם היקף $c$ ורדיוס $r$ שווה בשטחו למשולש ישר-זווית עם ניצבים $c,r$ . ארכימדס מוכיח את הטענה הזאת בעזרת שיטת המיצוי.

טענה שניה

היחס בין שטח המעגל לשטח הריבוע הנבנה על קוטרו הוא כמו 11:14

טענה זו נובעת מן הטענה השלישית.

טענה שלישית

חישובו של ארכימדס לפאי. ארכימדס השתמש במצולע בן 96 צלעות כדי למצוא את הקירוב שלו.

היחס בין הקפו של כל מעגל לקוטרו גדול מ־$3{\frac {10}{71}}$ אך קטן מ־$3{\frac {1}{7}}$

זה מקרב את מה שכעת אנו מכנים הקבוע המתמטי π. הוא מצא את החסמים האלה על ערכו של $\pi$ על־ידי חסימה במעגל וחסימת המעגל עם שני מצולעים משוכללים דומים בני 96 צלעות.

קירובים לשורשים ריבועיים

טענה זו גם מכילה קירובים מדויקים לשורש הריבועי של 3 (אחד גדול יותר ואחד קטן יותר) ומספרים גדולים אחרים שאינם ריבועים מושלמים. אף־על־פי־כן, ארכימדס לא נותן הסבר כיצד הוא מצא את המספרים הללו:

$1{\frac {112}{153}}<{\sqrt {3}}<1{\frac {571}{780}}$

אמדן מצוין זה ל־${\sqrt {3}}$ מציע שארכימדס חזה את שיטת השברים המשולבים.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0