עקום אסימפטוטי

בגאומטריה דיפרנציאלית של משטחים, עקום אסימפטוטי הוא עקום שתמיד משיק לכיוון אסימפטוטי של המשטח (היכן שכיוונים כאלו קיימים). עקום כזה מכונה לעיתים גם קו אסימפטוטי, אף על פי שהוא אינו חייב להיות קו ישר.

הגדרות

ישנן מספר הגדרות שקולות לכיוונים אסימפטוטיים ולעקומים האסימפטוטיים הנגזרים מהם.

• הכיוונים האסימפטוטיים בנקודה של המשטח הם בדיוק האסימפטוטות של ההיפרבולה המייצגת של Dupin indicatrix דרך נקודה היפרבולית (נקודה בה עקמומיות גאוס היא שלילית), או האסימפטוטה היחידה בנקודה פרבולית (נקודה בה עקמומיות גאוס היא אפס).
• כיוון אסימפטוטי בנקודה הוא כיוון שלאורכו העקמומיות הנורמלית היא אפס. עקמומיות נורמלית ${\kappa }_n$ של כיוון של משטח S בנקודה מסוימת x מוגדרת כהיטל של וקטור העקמומיות המוחלטת של העקומה $\gamma$ על כיוון הנורמל $\hat{n}$ למשטח. היטל זה מתאפס כאשר העקמומיות המוחלטת היא אפס או כאשר וקטור העקמומיות המוחלטת ניצב לוקטור הנורמל למשטח באותה נקודה. המקרה הראשון מתרחש כאשר העקומה האסימפטוטית היא קו ישר (לכל הפחות מקומית) והשני מתקבל כאשר מרכז העקמומיות של $\gamma$ בנקודה x מצוי במישור המשיק למשטח. לכן, הגדרה שקולה נוספת לעקומה אסימפטוטית היא עקומה שבה בכל נקודה המישור הנושק לה והמישור המשיק למשטח מתלכדים.

תכונות

כיוונים אסימפטוטיים מתקיימים רק בנקודות שבהן עקמומיות גאוס היא שלילית או אפס.

לפי משפט אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית, ישנם שני כיוונים אסימפטוטיים דרך כל נקודה עם עקמומיות גאוס שלילית, שכל אחד מהם נמצא בין שני כיוונים ראשיים. ישנו כיוון אסימפטוטי יחיד או אינסוף כיוונים אסימפטוטיים בכל נקודה פרבולית. בנקודות אמביליות עם עקמומיות שונה מאפס, אין שום כיוון אסימפטוטי (בכל הכיוונים העקמומיות הנורמלית גדולה מאפס).

אם משטח הוא מינימלי ואינו שטוח, אז הכיוונים האסימפטוטיים ניצבים אחד לשני (ומצויים כל אחד בזווית של 45 מעלות ביחס לכיוונים הראשיים).

עבור משטח פריס, העקומים האסימפטוטיים הם קווים יוצרים (generatrices) ורק הם.

אם קו ישר נכלל במשטח (כמו במקרה של משטח ישרים), אז הוא עקום אסימפטוטי של המשטח.

חישוב כיוונים אסימפטוטיים

בהינתן הצגה פרמטרית של משטח על ידי קואורדינטות עקומות $u,v$, העקמומיות הנורמלית בנקודה x בכל כיוון נתונה על ידי התבנית היסודית השנייה, שבדרך כלל מסומנת:

$II=Ld{u}^2+2Mdudv+Nd{v}^2$

הכיוונים האסימפטוטיים בנקודה הם בדיוק אלו שעבורם התבנית היסודית השנייה מתאפסת, ולפיכך ניתן לקבוע אותם על ידי פירוק לגורמים ליניאריים של התבנית היסודית השנייה. אם נסמן $V=\frac{L}{N},T=\frac{M}{N}$, אז נקבל:

$0=d{v}^2+2Tdudv+Vd{u}^2$

הכיוונים האסימפטוטיים נתונים אז על ידי:

$dv+(T+\sqrt{T^2-V})du=0$

$dv+(T-\sqrt{T^2-V})du=0$

ניתן לראות שכיוונים אסימפטוטיים קיימים רק כאשר הביטוי בתוך השורש הריבועי אינו קטן מאפס, כלומר כאשר הדיסקרימיננטה $\mathrm{\Delta }=T^2-V$ של התבנית היסודית השנייה היא אי-שלילית, או באופן שקול כאשר עקמומיות גאוס אינה חיובית. לאחר בחירה עקבית של ענף השורש הריבועי, העקומים האסימפטוטיים הם עקומים אינטגרליים (integral curves) עבור שדה הכיוונים המתואר על ידי התבניות הדיפרנציאליות הליניאריות הללו.

ראו גם

• משפט אוילר בגאומטריה דיפרנציאלית

קישורים חיצוניים

• עקום אסימפטוטי, באתר MathWorld (באנגלית)

• Lines of Curvature, Geodesic Torsion, Asymptotic Lines
• "Asymptotic line of a surface" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

עקום אסימפטוטי41847679Q2363719