תבנית דיפרנציאלית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה וקטורית, תבנית דיפרנציאלית (מאנגלית - Differential form), היא הכללה של פונקציה ממשית המאפשרת "לפרק" פונקציה לכיוונים בלתי תלויים שונים. כמו כן, היא מאפשרת להכליל אינטגרלים ולחשבם על סוגים שונים של יריעות במרחב האוקלידי. תבניות דיפרנציאליות הן מושג בסיסי באנליזה מתמטית, ויש להן שימושים רבים בתחומים שונים, כמו גאומטריה ופיזיקה.

הגדרה

עבור שני מספרים טבעיים kn, נגדיר תבנית k-דיפרנציאלית במרחב n, שתחומה הוא Ωn.

נאמר שפונקציה f:(n)k היא חילופית, אם לכל v1,,vkn ולכל 1i<jk מתקיים f(v1,,vi,,vj,,vk)=f(v1,,vj,,vi,,vk).

נאמר ש-f היא פונקציה מולטילינארית, אם לכל v1,,vk,wn;a,b ולכל 1ik מתקיים f(v1,,avi+bw,,vk)=af(v1,,vi,,vk)+bf(v1,,w,,vk).

נסמן את מרחב הפונקציות ה-k מולטילינאריות ומתחלפות ב-Λk(n). קבוצה זו היא מרחב וקטורי מעל הממשיים.

אם כן, תבנית k-דיפרנציאלית ב-n בעלת התחום Ωn היא פונקציה ω:ΩΛk(n).

מבנה כללי

ההגדרה לעיל נראית מסובכת ולא פרקטית. אך בפועל, לתבניות יש מבנה נוח למדי.

לצורך מציאת מבנה זה, נכליל את ההטלות ממשתנה אחד לכמה משתנים, באופן הבא: לכל אינדקסים 1i1<i2<<ikn נגדיר תבנית k : πi1,i2,,ik(v1,,vk)=det(v1i1vki1v1ikvkik)

(כאשר det היא הדטרמיננטה), שתקרא ההטלה לפי האינדקסים i1,i2,,ik ב-n. נהוג גם לסמן תבנית זו על ידי dxi1dxi2dxik, כאשר מכונה "wedge product" (ראו "פעולות על תבניות" בהמשך).

ניתן להוכיח כי הקבוצה {πi1,i2,,ik:1i1<i2<<ikn} היא בסיס ל Λk(n), ובפרט ממדו הוא המקדם הבינומי (nk).

אם כן, כל תבנית k ניתן לרשום מהצורה ω=ωi1,i2,,ikπi1,i2,,ik=ωi1,i2,,ikdxi1dxik כאשר הסכום הוא על כל האינדקסים הסדורים, ו-ωi1,i2,,ik פונקציות ממשיות שתחומן הוא Ω.

דוגמאות

  • במקרה k=n=1, תבנית -1 כללית היא מהצורה fdx, כאשר f פונקציה ממשית.
  • תבנית-1 כללית בn היא מהצורה f1dx1++fndxn, כאשר f1,,fn פונקציות ממשיות.
  • תבנית-2 כללית ב3 היא מהצורה p(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy, כאשר P,Q,R פונקציות ממשיות.

פעולות על תבניות

  • סכום - אם ω=ωi1,,ikdxi1dxik;τ=τi1,,ikdxi1dxik שתי תבניות-k, אז החיבור ביניהן מוגדר באופן הטבעי - ω+τ=(ωi1,,ik+τi1,,ik)dxi1dxik.
  • מכפלה - אם ω=ωi1,,ikdxi1dxik תבנית-k ו-τ=τj1,,jldxj1dxjl תבנית-l, אז מכפלת התבניות היא תבנית-k+l המוגדרת כך:

ωτ=ωi1,,ikτj1,,jldxi1dxikdxj1dxjl

למשל, ב-3 מתקיים (xdy+zdx)dz=xdydz+zdxdz.

  • דיפרנציאל - פעולה זו מכלילה את הדיפרנציאל של פונקציה ממשית לתבניות דיפרנציאליות. נאמר שתבנית ω=ωi1,,ikdxi1dxik היא תבנית דיפרנציאבילית אם הפונקציות ωi1,,ik כולן דיפרנציאביליות. אם כך, מגדירים את הדיפרנציאל של התבנית להיות ה-k+1 תבנית הבאה:

dω=dωi1,,ikdxi1dxik=t=1nωi1,,ikxtdxtdxi1dxik.

תבנית נקראת מדויקת, אם היא דיפרנציאל של תבנית אחרת. תבנית נקראת סגורה, אם הדיפרנציאל שלה שווה זהותית לאפס.

  • משיכה לאחור- בהינתן תבנית דיפרנציאלית ω=ωi1,,ikdxi1dxik על U ופונקציה דיפרנצאבילית ברציפות φ:Um. מגדירים את המשיכה לאחור של ω על ידי φ להיות תבנית דיפרנציאלית חדשה φ*ω=ωi1,,ikφdφi1dφikכאשר dφi=Σj=1nφixjdxj.
  • אינטגרציה- עבור תבנית דיפרנציאלית ω מעל קבוצה פתוחה U1n, ופונקציה חלקה והפיכה φ:UU1 עבור Uk, נגדיר φ(U)ω=Uφ*ω, ועבור η=fdx1dxk נגדיר Vη=Vf.

תכונות

  • חילופיות החיבור - ω+τ=τ+ω.
  • אנטי סימטריות הכפל - dxidxj=dxjdxi.
    • לכן: dxidxi=0.
  • אם ω תבנית-k ו-τ תבנית-l, אז ωτ=(1)klτω. בפרט, אם k=l מספר אי זוגי, מתקבל ω2=0 .
  • אם ω תבנית-k ו-τ תבנית-l שתיהן דיפרנציאביליות, מתקיים כלל לייבניץ המוכלל לתבניות - d(ωτ)=τdω+(1)kωdτ.
  • אם ω תבנית-k גזירה ברציפות פעמיים, מתקיים d(d(ω))=0.
  • כל תבנית דיפרנציאבילית מדויקת היא סגורה. ההפך נכון בתחום כוכבי, לפי למת פואנקרה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תבנית דיפרנציאלית35538178Q1047080