פולינום פרימיטיבי

באלגברה מופשטת, ובפרט בתורת החוגים, פולינום פרימיטיבי הוא פולינום אשר המחלק המשותף המקסימלי של כל איבריו הפיך. מושג זה קשור לפריקות פולינומים מעל חוגים וכן ללמה של גאוס, הקובעת כי פולינום פרימיטיבי פריק מעל חוג אם ורק אם הוא פריק מעל שדה השברים שלו.

הגדרה פורמלית

בהינתן תחום פריקות יחידה עם יחידה $R$ ופולינום $p(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}$ שמקדמיו שייכים לחוג $R$ (איבר בחוג הפולינומים), אומרים ש-$p(x)$ פרימיטיבי אם המחלק המשותף המקסימלי של כל מקדמיו הוא איבר הפיך בחוג.

דוגמאות

• בחוג המספרים השלמים, הפולינומים $x^{2}-7,2x^{3}-7x+8,x+12$ פרימיטיביים, ואילו $2x+4,5x^{2}-35,12x^{4}-14$ אינם פרימיטיביים. באופן כללי, מעל המספרים השלמים, פולינום הוא פרימיטיבי אם ורק אם מקדמיו זרים.
• כל פולינום שאחד ממקדמיו הפיך הוא פרימיטיבי.
• מעל שדה אין משמעות למושג זה - כל פולינום הוא פרימיטיבי.
• כל פולינום מתוקן הוא פרימיטיבי.
• בתחום פריקות יחידה, מכפלת שני פולינומים היא פולינום פרימיטיבי אם ורק אם שני הפולינומים פרימיטיביים.
• בתחום פריקות יחידה, כל פולינום ניתן לכתוב כמכפלה של איבר בחוג כפול פולינום פרימיטיבי. איבר זה הוא המחלק המשותף המקסימלי של כל המקדמים שאינם אפס.

ראו גם

• הלמה של גאוס (פולינומים)