שיטת ריילי

שיטת רַיילֵי היא שיטת אנרגיה בתחום תורת האלסטיות על שמו של ג'ון ויליאם סטראט ריילי, המשמשת למציאת התדירות היסודית (fundamental frequency) של מבנה הנתון לעמיסה דינמית. התדירות המתקבלת תהיה תמיד מעט גבוהה יותר מן התדירות האמיתית עקב הזנחות בחישוב אנרגיית העיבורים של המבנה.

המאפיין המרכזי של מערכת דינמית הוא התדירויות האופייניות שלה, אשר מהוות אינדיקציה לכשל אפשרי של המבנה בעת עמיסה דינמית. עקרון ריילי מבוסס על מספר הנחות:

1. בתנודה בתדירות האופיינית, כל אלמנט מסה של הקורה נע בתנועה הרמונית פשוטה באותה תדירות זוויתית ω.
2. בתנודה בתדירות האופיינית, האנרגיה הקינטית המקסימלית שווה לאנרגיה הפוטנציאלית המקסימלית.
3. האנרגיה הפוטנציאלית במערכת שווה לאנרגיית העיבור של הקורה.

שיטת ריילי

נבחן מקרה שבו הקורה בעלת מסה זניחה ועליה מורכבות משקולות במשקל W_i כל אחת. האנרגיה הפוטנציאלית המקסימלית במערכת שווה לעבודת המשקולות, כאשר y_i הינה משרעת התנודה המקסימלית:

$\ U_{max}={1 \over 2}\sum _{i}W_{i}y_{i}$

מצד שני, האנרגיה הקינטית המקסימלית מתקבלת מכך שהמהירות המקסימלית בתנועה הרמונית פשוטה שווה למכפלת המשרעת בתדירות:

$\ v_{max}=\omega y\quad \Rightarrow \quad KE_{max}={\frac {\omega ^{2}}{2g}}\sum _{i}W_{i}y_{i}^{2}$

כאשר נשווה בין שני הביטויים נקבל את מנת ריילי (Rayleight quotient):

$\ \omega ^{2}={\frac {g\sum \limits _{i}W_{i}y_{i}}{\sum \limits _{i}W_{i}y_{i}^{2}}}$

אם מדובר בקורה בעלת פילוג מסה μ ליחידת אורך, אנרגיית העיבורים האגורה כתוצאה מכפיפה שווה:

$\ U_{bending}={1 \over 2}\int \limits _{0}^{L}Md\theta$

כאשר M הוא פילוג המומנט ו-θ היא פילוג שיפוע הקורה. מתורת אוילר ברנולי ידוע:

$\ {\frac {M}{EI}}={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

באמצעות הפיכת הסכימה לאינטגרציה והצבת הקשר האחרון, נקבל:

$\ \omega ^{2}={\frac {EI}{\mu }}{\frac {\int \limits _{0}^{L}(y'')^{2}dx}{\int \limits _{0}^{L}y^{2}dx}}$

כאשר μ היא מסה ליחידת אורך של המוט.

בבעיות מציאותיות לא נזניח את מסת הקורה ואז, על מנת לחשב את התדירות העצמית, נציב את משוואת השקיעה עבור אותה תדירות. מאחר שצורת השקיעה לרוב אינה ידועה, נוח להציב את משוואת השקיעה הסטטית (העקום האדום באיור) או משוואה אקוויוולנטית מבחינה אנרגטית (העקום הירוק באיור).

במקרה הכללי ביותר, בו μ,E,I משתנים לאורך הקורה, המשוואה המתארת את המערכת היא:

$\ \int \limits _{0}^{L}EI\left({\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\right)^{2}dx=\int \limits _{0}^{L}\mu \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}dx$

ראו גם

• שיטת גלרקין
• שיטת ריילי ריץ

לקריאה נוספת

• Francis S. Tse, Mechanical Vibrations, 1963.