משפט סטוקס

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


במתמטיקה, משפט סטוקס הוא הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות. המשפט נקרא על שם הפיזיקאי והמתמטיקאי ג'ורג' סטוקס והוא בעל חשיבות רבה באנליזה של שדות וקטוריים.

בהינתן יריעה דיפרנציאלית קומפקטית אוריינטבילית ותבנית דיפרנציאלית המוגדרת על מתקיים:

כאשר הנגזרת החיצונית של ו־ השפה של .

מקרים פרטיים

חוק סטוקס

במרחב הווקטורי , ניתן לנסח את המשפט כך:

כאשר יריעה אוריינטבילית דו־ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל קווי של השדה על שפת , והאגף הימני הוא אינטגרל משטחי על השטף של רוטור השדה דרך .

שימושה המוכר ביותר של צורה זו של משפט סטוקס (הנקראת לעיתים בפי הפיזיקאים חוק סטוקס) הוא במשוואות מקסוול, או ליתר דיוק, בחוק אמפר ובחוק פאראדיי.

משפט גרין

משפט גרין הוא מקרה פרטי של חוק סטוקס, בו השדה הווקטורי הוא . במקרה זה בהינתן מסילה פשוטה סגורה וגזירה למקוטעין , נקרא לשטח החסום על ידי המסילה ויתקיים:

משפט גאוס

מסקנה שימושית של משפט סטוקס ב־ היא משפט גאוס (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ):

כאשר הוא נפח ב־ , היא המעטפת הכולאת אותו, ו־ הוא וקטור נורמלי למשטח .

האגף השמאלי הוא אינטגרל נפחי של הדיברגנץ של על הנפח , ואגף ימין הוא אינטגרל משטחי של השטף של דרך . גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא חוק גאוס.

משפט הגרדיאנט (נוסחת ניוטון–לייבניץ)

משפט הגרדיאנט הוא הכללה של נוסחת ניוטון–לייבניץ. אם מסילה גזירה ונתונה פונקציה סקלרית דיפרנציאבילית אזי:

קישורים חיצוניים


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0