תורת הקבוצות – מונחים

• תורת הקבוצות: ענף במתמטיקה העוסק בתכונותיהן של קבוצות, ומשמש כבסיס לאקסיומטיזציה של המתמטיקה.
  • תורת הקבוצות הנאיבית: ניסוח אינטואיטיבי של הרעיונות היסודיים של תורת הקבוצות, כפי שהתפתחה במשך השנים.
  • תורת הקבוצות האקסיומטית: גרסה פורמלית, בעלת ביסוס אקסיומטי מוצק, של תורת הקבוצות, שפותחה כדי למנוע סתירות ופרדוקסים כדוגמת הפרדוקס של ראסל.
• קבוצה: מושג יסודי בתורת הקבוצות. התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם.
• תת-קבוצה: קבוצה $B$ היא תת־קבוצה של הקבוצה $A$ אם כל אבר של $B$ שייך גם ל־$A$. נסמן זאת בצורה: $B\subseteq A$.
• הקבוצה הריקה: קבוצה שאין בה אברים, והיא מסומנת בסימן $\varnothing$ (שמקורו באות הנורווגית "Ø") או בצורה $\{\}$.
• יחידון (סינגלטון בלועזית): קבוצה המכילה אבר אחד בלבד.
• פעולות על קבוצות:
  • איחוד: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את אברי כל הקבוצות שעליהן פעלה פעולת האיחוד.
    • הפעולה איחוד היא קומוטטיבית (חילופית) ואסוציאטיבית (קיבוצית).
  • חיתוך: פעולה על קבוצות שתוצאתה היא הקבוצה המכילה את האיברים ששייכים לכל אחת ואחת מהקבוצות שעליהן פעלה פעולת החיתוך.
    • הפעולה חיתוך היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
      • מתקיימת דיסטריבוטיביות של החיתוך מעל האיחוד ודיסטריבוטיביות האיחוד מעל החיתוך, כלומר $\begin{array}{r}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\ A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{array}$
  • הפרש: ההפרש בין $A$ ל־$B$ הוא קבוצה המכילה את כל האברים השייכים ל־$A$ ולא שייכים ל־$B$.
    • פעולת ההפרש אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • הפרש סימטרי: ההפרש הסימטרי של הקבוצות $A,B$ הוא הקבוצה המורכבת מכל אברי $A$ שלא שייכים ל־$B$ וכל אברי $B$ שלא שייכים ל־$A$ – כלומר, כל האברים השייכים בדיוק לאחת הקבוצות.
    • הפעולה "הפרש סימטרי" היא קומוטטיבית ואסוציאטיבית.
  • מכפלה קרטזית: המכפלה הקרטזית של שתי קבוצות $A,B$ היא קבוצה המכילה את כל הזוגות הסדורים שאברם הראשון שייך ל־$A$ והשני שייך ל־$B$. ניתן להרחיב פעולה זו לכל מספר, גם אינסופי, של קבוצות.
    • הפעולה "מכפלה קרטזית" אינה קומוטטיבית ואינה אסוציאטיבית.
  • בחירה
• קבוצות זרות: שתי קבוצות הן זרות אם חיתוכן הוא הקבוצה הריקה.
• קבוצה אינסופית: קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.
• עוצמה: מושג המשקף את גודלה של קבוצה, כלומר את מספר אבריה. עוצמה של קבוצה $A$ תסומן $|A|$.
  • ${\mathrm{\aleph }}_0$ (אלף אפס): עוצמתה של קבוצת מספרים הטבעיים.
  • $\mathrm{\aleph }$ או $\mathfrak{𝔠}$ (עוצמת הרצף): עוצמתה של קבוצת המספרים הממשיים.
• השערת הרצף: ההשערה כי לא קיימת עוצמה בין ${\mathrm{\aleph }}_0,\mathrm{\aleph }$, זו השערה שלא ניתן להוכיח או להפריך תחת האקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות (אקסיומות ZFC).
• קבוצה בת מנייה: קבוצה אינסופית שניתן למנות את אבריה; כלומר, כזו שעוצמתה שווה לעוצמת המספרים הטבעיים. (לפעמים כוללים בהגדרה גם קבוצות סופיות).
• קבוצת החזקה: קבוצה המכילה את כל תתי־הקבוצות של קבוצה נתונה. קבוצת החזקה של קבוצה $A$ תסומן ${𝒫}(A)$.
• יחס (בינארי): קבוצה המכילה זוגות סדורים, כך שהאבר הראשון בזוג בא תמיד מקבוצה מסוימת $A$, והאבר השני בא מקבוצה נוספת $B$ (לא בהכרח שונה מ־$A$). בכתיב פורמלי: קבוצה $R$ תיקרא יחס מ־$A$ ל־$B$ אם ${ℛ}\subseteq A\times B$.
  • פונקציה: יחס בו לכל אבר של $A$ קיים זוג סדור *יחיד* שהוא האבר הראשון שלו.
    • פונקציה חד-חד-ערכית: פונקציה $f:X\to Y$ תקרא חד־חד־ערכית (חח"ע) אם לכל $y$ בטווח $Y$ קיים לכל היותר $x$ אחד בתחום $X$ המקיים $f(x)=y$.
    • פונקציה על: פונקציה $f:X\to Y$ תקרא על אם לכל $y$ בטווח $Y$ קיים לפחות $x$ אחד בתחום $X$ המקיים $f(x)=y$.
    • פונקציה הפיכה: פונקציה שקיימת לה פונקציה הפכית; לכל $y$ קיים $x$ יחיד עבורו $f(x)=y$ (כלומר, הפונקציה היא חח"ע ועל).
  • יחס שקילות: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, סימטריות וטרנזיטיביות. יחס מעל קבוצה $A$ המקיים את שלוש תכונות אלו מחלק אותה למחלקות שקילות.
  • סדר חלקי: יחס המקיים שלוש תכונות: רפלקסיביות, אנטי־סימטריות וטרנזיטיביות.
    • סדר מלא: סדר מלא הוא סדר חלקי בו כל שני אברים בקבוצה ניתנים להשוואה.
      • סדר טוב: סדר טוב הוא סדר מלא בו לכל תת־קבוצה יש אבר מינימלי.
    • שרשרת: קבוצה חלקית לקבוצה סדורה בסדר חלקי, שכל שני איברים בה ניתנים להשוואה (כלומר היא סדורה בסדר מלא).
• קבוצת כל הפונקציות מקבוצה $A$ לקבוצה $B$: קבוצה המסומנת $B^A$ והמכילה את כל הפונקציות מהקבוצה $A$ אל תוך הקבוצה $B$.
• הפרדוקס של ראסל: פרדוקס שהראה שתורת הקבוצות הנאיבית מכילה סתירות, והוביל לפיתוחה של תורת הקבוצות האקסיומטית.
• ייחוס של קבוצה (או מחלקה) לקבוצה אחרת.
• משפטים:
  • משפט קנטור: משפט קנטור הוא משפט מתמטי יסודי בתורת הקבוצות. המשפט קובע שעוצמת כל קבוצה קטנה מעוצמת קבוצת תתי־קבוצות שלה.
  • האלכסון של קנטור: קובע שעוצמת המספרים הממשיים גדולה מזו של הטבעיים.
  • משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין: משפט האומר כי אם קיימת פונקציה חח"ע מקבוצה $A$ לקבוצה $B$, וקיימת פונקציה חח"ע מהקבוצה $B$ לקבוצה $A$, אז שתי הקבוצות שקולות.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0