מבחני התכנסות לסדרות

במתמטיקה, מבחני התכנסות לסדרות מהווים כלים לבדיקה אם סדרה היא מתכנסת או מתבדרת. סדרות, והתכנסות סדרות בפרט, מהווים בסיס וכלים לנושאים רבים במתמטיקה, במיוחד בחשבון אינפיניטסימלי.

הגדרת התכנסות וסימונים

סימונים

גבול של סדרה מסומן כך: $\lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ . ניתן לסמן אותו גם בצורה המקוצרת: $a_{n} \to L$ .

כאשר:

lim - הוא קיצור של המילה הלועזית Limit שפירושה "גבול".
בסימון $a_{n}$ , האות $a$ הוא סימן המציין את הסדרה שהאיבר שייך אליה, ו- $n$ הוא אינדקס, המציין את מספרו הסידורי של האיבר בסדרה.
הסימן $\to$ מסמל שאיפה של הביטוי המצוין בתחילת החץ לזה שבסופו. כך ש $n \to \infty$ מציין ש- n שואף לאינסוף.
$\infty$ מסמל את מושג האינסוף.
$L$ מייצג את המספר שאליו הולכים ומתקרבים איברי הסדרה ככל ש- $n$ גדל

הגדרת התכנסות

ייצוג גרפי של סביבת הנקודה a על ישר המספרים. המרחק של כל מספר אשר נמצא בסביבה מנקודה a קטן מרדיוס הסביבה, המיוצג על ידי ε ויכול להיות קטן כרצוננו.

תהא ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מתכנסת למספר הממשי $L$ (או ש- $L$ הוא הגבול של הסדרה) אם לכל מספר ממשי $ε > 0$ (קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי $N$ כך שלכל $n$ המקיים $n > N$ מתקיים $| a_{n} - L | < ε$ . ובאופן פורמלי: $L = \lim_{n \to \infty} a_{n}$ $⟺$ $\forall ε > 0, \exists N \in ℕ, \forall n > N, | a_{n} - L | < ε$

הערה: סדרה מתכנסת אם ורק אם $L \in ℝ$ .

מבחן המנה להתכנסות סדרות

משפט: תהי ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה חיובית. נסמן $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = L$ .

אם $L < 1$ , אז $a_{n} \to 0$ .
אם $L > 1$ או $L = \infty$ , אז $a_{n} \to \infty$ .

הוכחה:

מקרה א': $L < 1$

בדומה למבחן המנה לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה. ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן המנה לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = L$ קטן מ-1, אז המבחן קובע כי הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס וכיוון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס, נקבל כי $a_{n} \to 0$ . מ.ש.ל.

מקרה ב': $L > 1$ או $L = \infty$

נבחר מספר $r$ המקיים $L > r > 1$ . כיוון ש- $L > 1$ , קיים $k \in ℕ$ כך שלכל $n \geq k$ מתקיים $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > r$ , או באופן שקול: $a_{n + 1} > a_{n} \cdot r$ לכל $n \geq k$ .
נציב את $n$ להיות $k, k + 1, k + 2$ וכו' באי-שוויון זה ונקבל:

$a_{k + 1} > a_{k} \cdot r$
$a_{k + 2} > a_{k + 1} \cdot r > a_{k} \cdot r^{2}$
$a_{k + 3} > a_{k + 2} \cdot r > a_{k} \cdot r^{3}$

באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי $a_{k + m} > a_{k} \cdot r^{m}$ לכל $m \geq 1$ .

${a_{k} \cdot r^{m}}_{m = 1}^{\infty}$ היא סדרה הנדסית עם מנה $r > 1$ ולכן היא שואפת לאינסוף. לכן, מאי-השוויון לעיל, נובע כי ${a_{k + m}}_{m = 1}^{\infty}$ שואפת לאינסוף.

לכן, $a_{n} \to \infty$ (כי מספר סופי של איברים מתחילת הסדרה אינו משפיע על התכנסות סדרה). מ.ש.ל.

מבחן השורש לסדרות

נשים לב שמבחן השורש חזק יותר ממבחן המנה, כלומר ישנם מקרים בהם הגבול במבחן המנה לא יהיה קיים והגבול במבחן השורש יהיה קיים. אבל לפי משפט, אם הגבול של מנת האיברים קיים $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = L$ . אזי הוא שווה לגבול ממבחן השורש, כלומר $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = L$ .

משפט: תהי ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה חיובית. נסמן $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = L$ .

אם $L < 1$ , אז $a_{n} \to 0$ .
אם $L > 1$ או $L = \infty$ , אז $a_{n} \to \infty$ .

הוכחה:

מקרה א': $L < 1$

בדומה למבחן השורש לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה. ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן השורש לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = L$ קטן מ-1, אז המבחן קובע כי הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס, נקבל כי $a_{n} \to 0$ . מ.ש.ל.

מקרה ב': $L > 1$ או $L = \infty$

נבחר מספר $r$ המקיים $L > r > 1$ . כיון ש- $L > 1$ , קיים $k \in ℕ$ כך שלכל $n \geq k$ מתקיים $\sqrt[n]{a_{n}} > r$ , או באופן שקול: $a_{n} > r^{n}$ לכל $n \geq k$ .

${r^{n}}_{n = 1}^{\infty}$ היא סדרה גאומטרית עם מנה $r > 1$ ולכן היא שואפת לאינסוף. לכן, מאי-השוויון לעיל, נובע כי ${a_{n}}_{N = 1}^{\infty}$ שואפת לאינסוף. לכן, $a_{n} \to \infty$ (כי מספר סופי של איברים מתחילת הסדרה אינו משפיע על התכנסות סדרה). מ.ש.ל.

אפיון התכנסות לפי קושי

תנאי קושי הוא אפיון שקול לסדרה מתכנסת. סדרה המקיימת את תנאי קושי היא סדרה שהמרחק בין כל שני איברים שגדולים מאינדקס כלשהו, קטן כרצוננו. ניתן לשים לב שאף על פי שסדרה המקיימת את תנאי קושי בהכרח מתכנסת לגבול סופי, בהגדרה הפורמלית של תנאי קושי לא מופיע כלל ערך הגבול אליו הסדרה מתכנסת, ומכאן גם חשיבותו של אפיון זה: הוא מספק את האפשרות לקבוע האם סדרה מתכנסת מבלי להתייחס לגבול אליו היא מתכנסת, בניגוד להגדרת הגבול שמחייבת התייחסות לערך הגבול.

הגדרה: תהא

{a_{n}}_{n = 1}^{\infty}

סדרה של מספרים ממשיים. נאמר על הסדרה שהיא מקיימת את תנאי קושי אם לכל מספר ממשי

ε > 0

(קטן כרצוננו) קיים מספר טבעי

N

כך שלכל

m, n

המקיימים

m > N, n > N

מתקיים

| a_{n} - a_{m} | < ε

.

משפט קושי לסדרות

משפט: הסדרה הממשית ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ מתכנסת (לגבול סופי) אם ורק אם היא סדרת קושי. כלומר, היא מתכנסת אם ורק אם לכל $ε > 0$ קיים $N \in ℕ$ כך שלכל $n, m ⩾ N$ מתקיים $| a_{n} - a_{m} | < ε$ .

הוכחה:

נוכיח את הכיוון הראשון. נניח כי ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ מתכנסת לגבול $L$ . יהי $ε > 0$ נתון. אזי, קיים $N \in ℕ$ כך שלכל $k > N$ , מתקיים $| a_{k} - L | < \frac{ε}{2}$ . נבחר מספרים $n, m$ המקיימים $n, m \geq N$ ונקבל כי:

$| a_{n} - a_{m} | = | a_{n} - L + L - a_{m} | \leq | a_{n} - L | + | a_{m} - L | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

המעבר השני הוא שימוש באי-שוויון המשולש. אזי, הסדרה היא סדרת קושי. מ.ש.ל.

נוכיח את הכיוון השני. נניח כי ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ היא סדרת קושי. ראשית, נוכיח כי היא חסומה. כיוון שהיא סדרת קושי, קיים $k \in ℕ$ כך שלכל $n, m \geq k$ מתקיים $| a_{n} - a_{m} | < 1$ . אזי, לכל $n \geq k$ מתקיים $a_{k} - 1 < a_{n} < a_{k} + 1$ אז הסדרה חסומה בקטע $[k, \infty)$ . בקטע $[1, k]$ יש לסדרה רק מספר סופי של איברים ולכן היא חסומה שם. לפיכך, הסדרה חסומה על כל הישר הממשי.

על פי משפט בולצאנו-ויירשטראס, לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת לכן לסדרה ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ יש תת-סדרה שמתכנסת לגבול שנסמנו $L$ . נוכיח כי זהו למעשה הגבול של הסדרה. נסמן את תת-הסדרה $a_{m_{k}}$ . יהי $ε > 0$ נתון. מהיות הסדרה סדרת קושי, נקבל כי קיים $N \in ℕ$ כך שלכל $n, m \geq N$ מתקיים $| a_{n} - a_{m} | < \frac{ε}{2}$ . מהתכנסות תת-הסדרה, נקבל כי לכל $m_{k} \geq N$ מתקיים $| a_{m_{k}} - L | < \frac{ε}{2}$ . אזי, לכל $n \geq k$ מתקיים:

$| a_{n} - L | = | a_{n} - a_{m_{k}} + a_{m_{k}} - L | \leq | a_{n} - a_{m_{k}} | + | a_{m_{k}} - L | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

המעבר השני הוא שימוש באי-שוויון המשולש. אזי, $a_{n} \to L$ . מ.ש.ל.

התכנסות לפי כלל הסנדוויץ'

כלל הסנדוויץ' הוא משפט שימושי לחישוב גבולות. לפי הכלל, אם ניתן לחסום סדרה בין שתי סדרות בעלות גבולות שווים, אז הגבול של הסדרה שווה לאותו גבול. בניסוח מתמטי: אם הסדרות ${a_{n}}$ ${b_{n}}$ ו- ${c_{n}}$ מקיימות:

$b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$
$\lim_{n \to \infty} b_{n} = \lim_{n \to \infty} c_{n} = L$

אז גם לסדרה ${a_{n}}$ יש גבול והוא שווה ל- $L$ .

ניתן להשתמש בכלל גם במקרה האינסופי. אם ניתן לחסום מלמטה סדרה השואפת לאינסוף, אז הסדרה המקורית שואפת גם היא לאינסוף.

הוכחה

יהי $ϵ > 0$ נרצה למצוא מספר טבעי $N$ כך שעבור כל $n \geq N$ המרחק של $a_{n}$ מ- $L$ יהיה לכל היותר $ϵ$ .

הסדרה $b_{n}$ מתכנסת ל- $L$ כלומר קיים $N_{1}$ כך שלכל $n > N_{1}$ מתקיים $| b_{n} - L | < ϵ$ ובפרט $L - ϵ < b_{n}$ .

מצד שני הסדרה $c_{n}$ מתכנסת ל- $L$ כלומר קיים $N_{2}$ כך שלכל $n > N_{2}$ מתקיים $| c_{n} - L | < ϵ$ ובפרט $L + ϵ > c_{n}$ .

נסמן ב- $N$ את המקסימום של $N_{1}$ ושל $N_{2}$ . לכל מספר טבעי שגדול מ- $N$ גם המרחק של $b_{n}$ מ-L קטן מ- $ϵ$ וגם המרחק של $c_{n}$ מ- $L$ קטן מ- $ϵ$ .

בנוסף ידוע שלכל מספר טבעי n מתקיים אי השוויון $b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n}$ . נכתוב את כל אי השוויונות שקיבלנו יחד:

לכל

n > N

מתקיים

L - ϵ < b_{n} \leq a_{n} \leq c_{n} < L + ϵ

כלומר לכל $n > N$ מתקיים $L - ϵ < a_{n} < L + ϵ$ .
התחלנו עם מספר חיובי כלשהו והראנו שהחל ממקום מסוים בסדרה, המרחק של $a_{n}$ מ- $L$ קטן מאותו מספר חיובי, כלומר

\lim_{n \to \infty} a_{n} = L

התכנסות סדרה לפי תת-הסדרות שלה

הגדרת תת-סדרה

תהא ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה כלשהי, ותהא ${n_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה ${a_{n_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ נקראת תת-סדרה של ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ .

התכנסות סדרה לפי תתי סדרות

משפט:

תהי ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה. $a_{n} \to L$ אם"ם כל תת-סדרה של ${a_{n}}$ מתכנסת ל- $L$ .

הוכחה:

נניח כי $a_{n} \to L$ . אזי, לפי הגדרת הגבול, לכל $ε > 0$ , קיים $N \in ℕ$ כך שלכל $n \geq N$ מתקיים $| a_{n} - L | < ε$ . ניקח תת-סדרה שרירותית ${a_{n_{k}}}$ ונראה כי היא מתכנסת ל- $L$ . מתקיים $n_{k} \geq k$ (הוכחה לכך מובאת בסוף העמוד), אזי עבור $k \geq N$ מתקיים כי $n_{k} \geq N$ ולכן נקבל כי $| a_{n_{k}} - L | < ε$ . לכן, $a_{n_{k}} \to L$ . מ.ש.ל.

כדי להוכיח את הכיוון ההפוך, נשים לב כי ${a_{n}}$ היא תת-סדרה של עצמה שמתכנסת ל- $L$ ולכן זה טריוויאלי שמתקיים $a_{n} \to L$ . מ.ש.ל.

למת עזר:

תהי ${a_{n_{k}}}_{k = 1}^{\infty}$ תת-סדרה של ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ . אזי, $n_{k} \geq k$ לכל $k \in ℕ$ .

הוכחה:
נוכיח באינדוקציה. בבירור $n_{1} \geq 1$ . נניח כי $n_{k - 1} \geq k - 1$ ונוכיח כי $n_{k} \geq k$ . נשים לב כי ${n_{k}}$ סדרה מונוטונית עולה ממש (בבניית תת-סדרה, אנו לא לוקחים איברים מהסדרה המקורית בסדר הפוך לסדר בו הם הופיעו ואנו לא לוקחים איבר כלשהו יותר מפעם אחת), לכן $n_{k} > n_{k - 1} \geq k - 1$ . כלומר, $n_{k} > k - 1$ ולכן, $n_{k} \geq k$ . מ.ש.ל.

משפט שטולץ לסדרות

משפט (משפט שטולץ / משפט שטולץ-צז'רו): תהא ${x_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה כלשהי, ותהא ${y_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומקיימת $y_{n} \to \infty$ . אזי, אם הסדרה ${\frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}}}_{n = 1}^{\infty}$ מתכנסת במובן הרחב, כלומר $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}} = L$ , כאשר $L$ סופי או אינסופי, אז גם הסדרה ${\frac{x_{n}}{y_{n}}}_{n = 1}^{\infty}$ מתכנסת לאותו הגבול, כלומר $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = L$ .

הוכחה: לפי הגדרת הגבול, לכל $ε > 0$ קיים $N \in ℕ$ כך שלכל $n \geq N$ מתקיים:

$| \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}} - L | < ε$ או $L - ε < \frac{x_{n + 1} - x_{n}}{y_{n + 1} - y_{n}} < L + ε$

כיון ש- ${y_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה מונוטונית עולה ממש, $y_{n + 1} > y_{n}$ , כלומר $y_{n + 1} - y_{n} > 0$ וניתן להכפיל בו את אי-השוויון. נקבל:

$(L - ε) (y_{n + 1} - y_{n}) < x_{n + 1} - x_{n} < (L + ε) (y_{n + 1} - y_{n})$

יהי $K \in ℕ$ המקיים $K > N$ . סכימת אי-השוויון לעיל תיתן לנו את אי-השוויון הבא:

$(L - ε) \sum_{i = N}^{K} (y_{i + 1} - y_{i}) < \sum_{i = N}^{K} (x_{i + 1} - x_{i}) < (L + ε) \sum_{i = N}^{K} (y_{i + 1} - y_{i})$ $⇕$ $(L - ε) (y_{K + 1} - y_{N}) < x_{K + 1} - x_{N} < (L + ε) (y_{K + 1} - y_{N})$

נחלק את אי-השוויון ב- $y_{K + 1} > 0$ ונקבל:

$(L - ε) (1 - \frac{y_{N}}{y_{K + 1}}) < \frac{x_{K + 1}}{y_{K + 1}} - \frac{x_{N}}{y_{K + 1}} < (L + ε) (1 - \frac{y_{N}}{y_{K + 1}})$ $⇕$ $(L - ε) (1 - \frac{y_{N}}{y_{K + 1}}) + \frac{x_{N}}{y_{K + 1}} < \frac{x_{K + 1}}{y_{K + 1}} < (L + ε) (1 - \frac{y_{N}}{y_{K + 1}}) + \frac{x_{N}}{y_{K + 1}}$

כיון ש- $y_{n} \to \infty$ , קיים $M \in ℕ$ המקיים $M \geq K$ כך שיתקיים:

$L - ε < \frac{x_{K + 1}}{y_{K + 1}} < L + ε$ או $| \frac{x_{K + 1}}{y_{K + 1}} - L | < ε$ , לכל $M \geq K$

לפיכך, $\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = L$ . מ.ש.ל.

הערה: כפי שניתן לראות בבירור מההוכחה, מספיק שהסדרה ${y_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ תהיה חיובית ומונוטונית רק החל ממקום מסוים בסדרה ולאו דווקא החל מתחילתה.

התכנסות סדרת הממוצעים

משפט: תהי ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ סדרה המתכנסת לגבול סופי $L$ . אזי, גם הסדרות הבאות מתכנסות לגבול $L$ :

1) סדרת הממוצעים החשבונית: $A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$

2) סדרת הממוצעים ההנדסית: $G_{n} = \sqrt[n]{a_{1} \cdot a_{2} \times \dots \times a_{n}} = \sqrt[n]{\prod_{i = 1}^{n} a_{i}}$ אם $a_{n} > 0$ לכל $n$

3) סדרת הממוצעים ההרמונית: $H_{n} = \frac{n}{\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}}} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}}}$ אלא אם כן $L = 0$ והסדרה אינה שוות סימן

הוכחה: תחילה נוכיח את הטענה הראשונה. נשתמש במשפט שטולץ (ניתן למצוא בסוף העמוד הוכחה ישירות באמצעות הגדרת הגבול) כדי להוכיח התכנסות של הסדרה ${\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i}}_{n = 1}^{\infty}$ לגבול $L$ כאשר $a_{n} \to L$ .

ברור כי ${n}_{n = 1}^{\infty}$ היא סדרה חיובית, מונוטונית עולה ממש ומתכנסת במובן הרחב לאינסוף. מתקיים:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} - \sum_{i = 1}^{n} a_{i}}{(n + 1) - n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{1} = \lim_{n \to \infty} a_{n + 1} = L$

אזי, לפי המשפט, $A_{n} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}}{n} \to L$ , כדרוש. מ.ש.ל.

כעת נוכיח את הטענה השלישית.

אם $L \neq 0$ אז הטענה נכונה טריוויאלית על פי מה שהרגע הוכחנו. אם $a_{n} \to L$ נקבל כי $\frac{1}{a_{n}} \to \frac{1}{L}$ ואז כיון ש- $H_{n} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}}} = {(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}})}^{- 1}$ ובתוך הסוגריים סדרת הממוצעים החשבונית של $\frac{1}{a_{n}}$ נקבל מהטענה הראשונה כי $H_{n} \to {(\frac{1}{L})}^{- 1} = L$ . מ.ש.ל.

המקרה הפרטי $L = 0$ הוא בעייתי. עבורו, הטענה אינה נכונה באופן כללי ודוגמה פשוטה לכך היא הסדרה המוגדרת לפי $a_{n} = \frac{(- 1)^{n}}{n}$ . עבור סדרות שוות סימן (כלומר, סדרות שבהן קיים $N \in ℕ$ כך שלכל $n \geq N$ איברי הסדרה הם כולם בעלי אותו הסימן), מובטח כי ${\frac{1}{a_{n}}}$ מתכנסת לאינסוף או למינוס אינסוף. עובדה זו מאפשרת להראות את נכונות הטענה על פי נימוק דומה למקרה בו $L \neq 0$ .

נותר לנו כעת רק להוכיח כי $G_{n} \to L$ אם $a_{n} > 0$ לכל $n$ . זאת ניתן להוכיח ישירות באמצעות שימוש בטענות שהוכחנו עד כה ואי-שוויון הממוצעים אשר נכון עבור סדרות חיוביות:

$L \leftarrow H_{n} \leq G_{n} \leq A_{n} \to L$

לכן, על פי כלל הסנדוויץ', גם $G_{n} \to L$ ובזאת הושלמה ההוכחה. מ.ש.ל.

הערה: נזכיר כי הטענה על הממוצע ההרמוני אינה נכונה באופן כללי עבור $L = 0$ אך כאן $a_{n} > 0$ לכל $n$ , לכן הטענה נכונה במקרה זה כיון שהסדרה שוות סימן.

הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית

ההוכחה הבאה מראה כי סדרת הממוצעים החשבונית מתכנסת לגבול הסדרה המקורית באמצעות הגדרת הגבול בלבד.

יהי $ε > 0$ נתון. $a_{n} \to L$ , לכן לפי הגדרת הגבול, קיים $K \in ℕ$ כך שלכל $n \geq K$ מתקיים $| a_{n} - L | < \frac{ε}{4}$ .

כעת נסתכל על תת-סדרת האיברים עד $K$ , כלומר: $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{K - 1}, a_{K}$ . כיון ש- $K$ הוא מספר קבוע (ערכו נקבע על פי אפסילון), תת-סדרה זו היא סופית ולכן סכום איבריה הוא מספר סופי ולכן מתקיים: $\frac{\sum_{i = 1}^{K} a_{i}}{n} \overset{n \to \infty}{\to} 0$ . אזי, לפי הגדרת הגבול, קיים $N_{1} \in ℕ$ כך שלכל $n \geq N_{1}$ מתקיים $| \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{K} a_{i} | < \frac{ε}{2}$ .

כעת ניגש לטפל באיברים שנמצאים אחרי $K$ , כלומר $a_{K + 1}, a_{K + 2}, . . ., a_{n - 1}, a_{n}$ (נשים לב שזהו אינו מספר סופי של איברים). כל אחד מאיברים אלו מקיים $| a_{i} - L | < \frac{ε}{4}$ לכל $K + 1 \leq i \leq n$ טבעי. נסמן $N_{2} = ⌈ \frac{4 K | L |}{ε} ⌉$ ונשים לב שהדבר גורר כי לכל $n \geq N_{2}$ מתקיים $\frac{K | L |}{n} < \frac{ε}{4}$ . אזי,

$| \frac{\sum_{i = K + 1}^{n} a_{i}}{n} - L | = | \frac{\sum_{i = K + 1}^{n} a_{i} - n L}{n} | = \frac{1}{n} | \sum_{i = K + 1}^{n} (a_{i} - L) + (- K L) | \leq \frac{1}{n} [| \sum_{i = K + 1}^{n} (a_{i} - L) | + K | L |]$

$\leq \frac{1}{n} [\sum_{i = K + 1}^{n} | a_{i} - L | + K | L |] = \frac{\sum_{i = K + 1}^{n} | a_{i} - L |}{n} + \frac{K | L |}{n} < \frac{\sum_{i = K + 1}^{n} \frac{ε}{4}}{n} + \frac{K | L |}{n} < \frac{ε}{4} \cdot \frac{n - K}{n} + \frac{ε}{4} < \frac{ε}{4} + \frac{ε}{4} = \frac{ε}{2}$

נסכם: נסמן $N = \max {K, N_{1}, N_{2}}$ ונקבל כי לכל $n \geq N$ מתקיים:

$| \frac{\sum_{i = 1}^{n} a_{i}}{n} - L | = | \frac{\sum_{i = 1}^{K} a_{i}}{n} + \frac{\sum_{j = K + 1}^{n} a_{j}}{n} - L | \leq | \frac{\sum_{i = 1}^{K} a_{i}}{n} | + | \frac{\sum_{j = K + 1}^{n} a_{j}}{n} - L | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

אזי, $A_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \to L$ , כדרוש. מ.ש.ל.

ראו גם

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מבחני התכנסות לסדרות29871399

מבחני התכנסות לסדרות

תוכן עניינים

הגדרת התכנסות וסימונים

סימונים

הגדרת התכנסות

מבחן המנה להתכנסות סדרות

מבחן השורש לסדרות

אפיון התכנסות לפי קושי

משפט קושי לסדרות

התכנסות לפי כלל הסנדוויץ'

התכנסות סדרה לפי תת-הסדרות שלה

הגדרת תת-סדרה

התכנסות סדרה לפי תתי סדרות

משפט שטולץ לסדרות

התכנסות סדרת הממוצעים

הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית

ראו גם

תפריט ניווט

מבחני התכנסות לסדרות

הגדרת התכנסות וסימונים

סימונים

הגדרת התכנסות

מבחן המנה להתכנסות סדרות

מבחן השורש לסדרות

אפיון התכנסות לפי קושי

משפט קושי לסדרות

התכנסות לפי כלל הסנדוויץ'

התכנסות סדרה לפי תת-הסדרות שלה

הגדרת תת-סדרה

התכנסות סדרה לפי תתי סדרות

משפט שטולץ לסדרות

התכנסות סדרת הממוצעים

הוכחה חלופית עבור התכנסות סדרת הממוצעים החשבונית

ראו גם

תפריט ניווט

חיפוש