משפט שטולץ

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ (או משפט שטולץ-צזארו) הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט מתקיים תחת תנאים מסוימים השוויון

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (1842-1905) וארנסטו צזארו (1859-1906).

ניסוח המשפט

תהא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x_n\}_{n=1}^\infty} סדרה כלשהי, ותהא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{y_n\}_{n=1}^\infty\to\infty} סדרה מונוטונית עולה ממש.

אם קיים הגבול במובן הרחב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=L} , אזי גם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=L} .

הוכחה

נוכיח את המקרה בו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} סופי.

יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon>0} . לפי הגדרת הגבול קיים טבעי כך שלכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n>N} מתקיים

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L-\frac{\varepsilon}{2}<\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}<L+\frac{\varepsilon}{2}}

כיוון שהסדרה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_n} מונוטונית עולה ממש, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_{n+1}>y_n} או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_{n+1}-y_n>0} וניתן להכפיל בו את אי-השוויון. נקבל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(L-\frac{\varepsilon}{2}\right)(y_{n+1}-y_n)<x_{n+1}-x_n<\left(L+\frac{\varepsilon}{2}\right)(y_{n+1}-y_n)}

יהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k>N} עבורו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_k>0} (בהכרח קיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k} כזה מפני שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת אי-השוויון לעיל לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N+1\le n\le k} נקבל את אי-השוויון הבא:

נחלק את אי השוויון ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_{k+1}>0} ונקבל

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix}\left(L-\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\left(1-\dfrac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)<\dfrac{x_{k+1}}{y_{k+1}}-\dfrac{x_{N+1}}{y_{k+1}}<\left(L+\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\left(1-\dfrac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)\\\\\left(L-\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\left(1-\dfrac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\dfrac{x_{N+1}}{y_{k+1}}<\dfrac{x_{k+1}}{y_{k+1}}<\left(L+\dfrac{\varepsilon}{2}\right)\left(1-\dfrac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\dfrac{x_{N+1}}{y_{k+1}}\end{matrix}}

ברור כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{k\to\infty}\left[\left(L+\frac{\varepsilon}{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}\right]=L+\frac{\varepsilon}{2}} . לכן קיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_1} טבעי כך שלכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k>M_1} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(L+\frac{\varepsilon}{2}\right)\left(1-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}<L+\varepsilon} .

כן ברור כי . לכן קיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_2} טבעי כך שלכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k>M_2} מתקיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(L-\frac{\varepsilon}{2}\right)\left(L-\frac{y_{N+1}}{y_{k+1}}\right)+\frac{x_{N+1}}{y_{k+1}}>L-\varepsilon} .

נבחר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q=\max\{M_1,M_2,N\}} . לפיכך לכל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k>Q} מתקיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L-\varepsilon<\frac{x_{k+1}}{y_{k+1}}<L+\varepsilon\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=L}

דוגמאות

  • נחשב את הגבול הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n=\frac{2+\left(\frac32\right)^2+\left(\frac43\right)^3+\cdots+\left(\frac{n+1}{n}\right)^n}{n}} .
נסמן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align}x_n=\sum^n_{k=1}\left(\frac{k+1}{k}\right)^k\ ,\ y_n=n\end{align}} . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_n\to\infty} עולה ממש. כמו כן:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1}\left(\frac{k+1}{k}\right)^k-\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{k+1}{k}\right)^k}{n+1-n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}=e}
ולכן לפי המשפט .
  • נחשב את הגבול הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_1+e\cdot a_2+e^2\cdot a_3+\cdots+e^{n-1}\cdot a_n}{e^n}} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n\to e} .
נסמן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n=\sum_{k=1}^n e^{k-1}a_k\ ,\ y_n=e^n} . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_n\to\infty} עולה ממש. כמו כן:
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1}e^{k-1}a_k-\sum\limits_{k=1}^n e^{k-1}a_k}{e^{n+1}-e^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{e^n(a_{n+1})}{e^n(e-1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{e-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{e-1}=\frac{e}{e-1}}
השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.
ולכן לפי המשפט .

שימושים

  • בהינתן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{a_n\}_{n=1}^\infty} סדרה מתכנסת:
    • הממוצעים המשוקללים של הסדרה מתכנסים לגבול הסדרה (זאת בתנאי שסדרת המשקולות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\alpha_n\}_{n=1}^\infty} מקיימת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\to\infty} ).
    • הממוצע החשבוני של הסדרה מתכנס לגבול הסדרה (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
    • הממוצע ההרמוני של הסדרה מתכנס לגבול הסדרה.