משפט שטולץ

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט שטולץ, שנקרא גם משפט שטולץ-צ'זארו, הוא משפט המקשר בין גבולות של סדרות לסכומים של טורים. לפי המשפט, הגבולות ו- שווים זה לזה תחת תנאים מסוימים.

המשפט קרוי על שם המתמטיקאים אוטו שטולץ (18421905) וארנסטו צזארו (18591906).

ניסוח המשפט

תהא סדרה כלשהי, ותהא סדרה מונוטונית עולה ממש השואפת לאינסוף.

אם הסדרה מתכנסת במובן הרחב, כלומר קיים הגבול , אז גם הסדרה מתכנסת לאותו הגבול.

הוכחה

נוכיח את המקרה בו סופי.

יהי כלשהו. לפי הגדרת הגבול, קיים טבעי, כך שלכל מתקיים

.

כיוון שהסדרה מונוטונית עולה ממש, , כלומר וניתן להכפיל בו את האי שוויון. נקבל:

יהא טבעי כלשהו כך ש- (בהכרח קיים כזה מכיוון שהסדרה שואפת לאינסוף). מסכימת האי שוויון לעיל לכל נקבל את האי שוויון הבא:

נחלק את אי השוויון ב- ונקבל

ברור כי . לכן קיים טבעי כך שלכל מתקיים . כן ברור כי לכן קיים טבעי כך שלכל מתקיים . לפיכך, אם נבחר , נקבל שלכל יתקיים:

, כלומר -

ולפיכך, .

דוגמאות

  • נחשב את הגבול כאשר .
נסמן , ו- . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
ולכן, לפי המשפט, .
  • נחשב את הגבול כאשר .
נסמן , ו- . נראה כי מתקיימים תנאי משפט שטולץ: עולה ושואפת לאינסוף. כמו כן:
השוויון האחרון נובע מכלל המנה בכללי האריתמטיקה של גבולות.
ולכן, לפי המשפט, .

שימושים

  • הוכחת כלל לופיטל.
  • בהינתן סדרה מתכנסת:
    • הממוצעים המשוקללים של מתכנסים לאותו גבול כמו (זאת בתנאי שסדרת המשקולות מקיימת ).
    • הממוצע החשבוני של מתכנס לאותו גבול כמו (ניתן גם לראות ממוצע זה כמקרה פרטי של ממוצע משוקלל).
    • הממוצע ההרמוני של מתכנס לאותו גבול כמו .


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0