קבוע קטלן

במתמטיקה, קבוע קטלן (על שם המתמטיקאי אז'ן שרל קטלן) הוא מספר המוגדר על ידי

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots$

כאשר $\beta$ פונקציית בטא של דיריכלה. לא ידוע עם קבוע קטלן הוא מספר אי-רציונלי או לא. נכון ל-7 ביוני 2015, ידועים כ-200,000,001,100 ספרות אחרי הנקודה.

הגדרות נוספות

$\begin{array}{rl}G& =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+(xy{)}^2}dxdy\\ & =-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln (t)}{1+t^2}dt\\ & =\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln (t)}{1+t^2}dt\\ & =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{t}{\sin (t)\cos (t)}dt\\ & =\frac{1}{4}\underset{-\frac{\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{t}{\sin (t)}dt\\ & =\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\ln (\cot (t))dt\\ & =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan (e^{-t})dt\\ & =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\text{K}(t)dt\end{array}$

• כאשר $\text{K}(t)$ האינטגרל האליפטי.

$\begin{array}{rl}G& =\frac{\pi }{4}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+\frac{x}{2})\mathrm{\Gamma }(1-\frac{x}{2})dx=\frac{\pi }{2}\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\mathrm{\Gamma }(1+y)\mathrm{\Gamma }(1-y)dy\\ & =3\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{4n}}(\frac{1}{2(8n+1{)}^2}-\frac{1}{2(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^2(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^3(8n+5{)}^2}+\frac{1}{2^3(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^4(8n+7{)}^2})\\ & -2\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{12n}}(\frac{1}{2^3(8n+1{)}^2}+\frac{1}{2^4(8n+2{)}^2}+\frac{1}{2^6(8n+3{)}^2}-\frac{1}{2^9(8n+5{)}^2}-\frac{1}{2^{10}(8n+6{)}^2}-\frac{1}{2^{12}(8n+7{)}^2})\\ & =\frac{\pi }{8}\log (2+\sqrt{3})+\frac{3}{8}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n!{)}^2}{(2n)!(2n+1{)}^2}\end{array}$

שימושים

על ידי קבוע קטלן אפשר להגדיר ערכים מסוימים של פונקציית פוליגמא כגון:

$\begin{array}{rl}{\psi }_1\left(\frac{1}{4}\right)& ={\pi }^2+8G\\ {\psi }_1\left(\frac{3}{4}\right)& ={\pi }^2-8G\end{array}$