התפלגות בינומית

התפלגות בינומית

מאפיינים
פרמטרים	p - ההסתברות ל"הצלחה",n - מספר ההטלות
תומך	$k\in \{0,1,2...,n\}$
פונקציית הסתברות (pmf)	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$
תוחלת	$np$
סטיית תקן	$\sqrt{np(1-p)}$
חציון	$\{\lfloor np\rfloor -1,\lfloor np\rfloor ,\lfloor np\rfloor +1\}$
ערך שכיח	$\lfloor (n+1)p\rfloor$
שונות	$np(1-p)$
אנטרופיה	$\frac{1}{2}\ln (2\pi nep(1-p))+O\left(\frac{1}{n}\right)$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$(1-p+p{e}^t{)}^n$
צידוד	$\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$
גבנוניות	$\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}$

התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n ניסויי ברנולי בלתי תלויים. ההסתברות ל"הצלחה" בניסוי יחיד מסומנת כ-p, וההסתברות ל"כישלון" היא ההסתברות המשלימה (p-‏1).

סימון

משתנה מקרי X מפולג בינומית מסומן $X\sim \text{B}(n,p)$ , וההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים ($k=0,1,\dots ,n$) היא:

$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k{(1-p)}^{n-k}$

כאשר "המקדם הבינומי" $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ הוא מספר האפשרויות ל-k הצלחות ב-n ניסויים.

כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש $n!$ (סימן הקריאה מייצג את פונקציית העצרת) דרכים לסדר את n הניסויים.

לאותה מסקנה ניתן להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כישלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש $k!$ אפשרויות סידור), ואת הכישלונות (יש $(n-k)!$ אפשרויות סידור).

מכאן $n!=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot k!\cdot (n-k)!$, ולכן: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע ממקדמי הבינום שבהגדרתה.

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא $np$ ואילו השונות שלו היא $np(1-p)$.

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר $\lambda =np$.

הוכחת ההתפלגות

כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה אחת של k הצלחות במקומות מסוימים היא $p^k(1-p{)}^{n-k}$,

שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות $p$) ולפיכך ב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות המשלימה, $1-p$).

לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות כלשהם שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא $t\cdot p^k(1-p{)}^{n-k}$, כאשר $t$ הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור את k המקומות שבהם יהיו הצלחות מתוך כלל n המקומות. ניתן להוכיח בקומבינטוריקה כי המספר $t$ הוא בדיוק המקדם הבינומי $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

התפלגות בינומית שלילית

ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית

נאמר שמשתנה מקרי X מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים (r,P) אם: $P_X(k)=\frac{\mathrm{\Gamma }(r+k)}{k!\mathrm{\Gamma }(r)}{P}^r(1-P{)}^k$

כאשר $\mathrm{\Gamma }$ היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

התפלגויות דומות בהקשר בינומי

סכום של מ"מ בינומיים

אם $X\sim Bin(n,p)$ וכן $Y\sim Bin(m,p)$ הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי הסתברות זהה p אז $X+Y\sim Bin(n+m,p)$ , ז.א סכומם של המ"מ הנ"ל גם כן מתפלג בינומי.

התפלגות ברנולי

התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר $X\sim Bin(1,p)$ ונהוג לסמן $X\sim Ber(p)$. למעשה ניתן לראות בכל התפלגות בינומית כסכום של $n$ התפלגויות ברנולי שלכולן אותה הסתברות $p$.

קירוב נורמלי

במידה ו $n$ גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית $X\sim N(np,np(1-p))$. כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.

ראו גם

• תיבת גלטון