התפלגות לוגיסטית

התפלגות לוגיסטית

פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	$\sigma >0$ ,$-\mathrm{\infty }<\mu <\mathrm{\infty }$
תומך	$\mathbb{ℝ}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	$\frac{e^{-(x-\mu )/s}}{s{(1+e^{-(x-\mu )/s})}^2}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	$\frac{1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}$
תוחלת	$\mu$
סטיית תקן	$\frac{{\pi }^2}{3}{s}^2$
חציון	$\mu$
ערך שכיח	$\mu$
שונות	$\frac{{\pi }^2}{3}{s}^2$
אנטרופיה	$\ln (s)+2$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	$e^{\mu t}\mathrm{B}(1-st,1+st)$ עבור $|st|<1$, פונקציית בטא
פונקציה אופיינית	$e^{i\mu t}\mathrm{B}(1-ist,1+ist)$ for $|ist|<1$
צידוד	$0$
גבנוניות	$6/5$

התפלגות לוגיסטית היא התפלגות רציפה, שעד כדי הזזה וכיווץ, הקובעים את התוחלת והשונות, פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה היא הפונקציה הלוגיסטית $\frac{1}{1+e^{-x}}$. צורת ההתפלגות דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית, אך היא בעלת גבנוניות גדולה יותר (החריגות מהתוחלת הן גדולות ונדירות יותר).

פונקציית ההתפלגות

ההתפלגות הלוגיסטית מאופיינת בשני פרמטרים, $\mu$ ו- $s$. פונקציית ההסתברות המצטברת של ההתפלגות היא הפונקציה הלוגיסטית המוזזת ב-$\mu$ ומכווצת פי $s$: $F_X(x)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}$

פונקציית הצפיפות היא הנגזרת של פונקציה זו: $f_X(x)=\frac{e^{-(x-\mu )/s}}{s(1+e^{-(x-\mu )/s}{)}^2}$. למשתנה מקרי בעל התפלגות כזו יש תוחלת $\mu$, ושונות $\frac{{\pi }^2{s}^2}{3}$.

פונקציית סיכון

פונקציית הסיכון (Hazard function) של ההתפלגות לוגיסטית היא : $h(x)=\frac{1}{s(1+e^{-(x-\mu )/s})}$

שימושים

• בשחמט, דירוג השחקנים מחושב על פי התפלגות לוגיסטית במד הכושר.
• באקולוגיה משמשת ההתפלגות הלוגיסטית לתיאור הגידול הטבעי באוכלוסיית מינים, התלוי בגודל האוכלוסייה הקיימת ובכמות המשאבים הזמינים.
• באפידמיולוגיה - לתיאור התפשטות מגפות.
• בפסיכולוגיה - לתיאור תהליכי למידה.
• תיאור האופן שבו טכנולוגיות, מקורות אנרגיה או מוצרי שיווק מסוגים שונים נפוצים ומחליפים אלו את אלו.