טופולוגיה חלשה

טופולוגיה חלשה היא טופולוגיה שבה ה"מרחק" או ה"סביבות" מוגדרות באמצעות קבוצה של פונקציות רציפות על המרחב. נהוג להשתמש במונח זה כאשר מגדירים טופולוגיה שכזו על מרחב מטרי (ובפרט, מרחב בנך) שעליו קיימת כבר הטופולוגיה המטרית/הנורמית - שהיא טופולוגיה חזקה יותר.

הגדרה פורמלית

יהי X מרחב נורמי ותהי $F\subset C(X)$ משפחה של פונקציות רציפות על X.

הטופולוגיה החלשה $w(F)$ המתאימה ל-F היא הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר: עם אוסף הקבוצות הפתוחות הקטן ביותר האפשרי) שביחס אליה כל הפונקציות של F הן רציפות. את הטופולוגיה החלשה אפשר לתאר באמצעות הבסיס הבא:

$U(x_0,A,\epsilon )=\{x\in X|\mathrm{\forall }f\in A:|f(x_0)-f(x)|<\epsilon \}$

כאשר עוברים על כל הנקודות $x_0\in X$, על כל משפחת פונקציות סופית $A\subset F$ ועל כל $\epsilon >0$. כלומר,

$\mathbb{𝔹}=\{U(x_0,A,\epsilon )|A\subset F,\epsilon >0,x_0\in X\}$ הוא בסיס לטופולוגיה החלשה המתאימה ל-F.

תכונות

• אם המשפחה F מפרידה נקודות (כלומר: $\mathrm{\forall }x\ne y:\mathrm{\exists }f\in F:f(x)\ne f(y)$ ) אזי הטופולוגיה החלשה היא האוסדורף (T₂).
• התכנסות: בטופולוגיה זו $x_n\to x$ אם ורק אם לכל $f\in F$ מתקיים ש $f(x_n)\to f(x)$.
• משפט בנך-אלאוגלו: יהי X מרחב בנך ונגדיר טופולוגיה חלשה מעל $X^{*}$ על ידי $w(X)$ כאשר $X\subset X^{**}$ (כאן X משחק בתפקיד של F ואילו $C(X)\subset X^{**}$. אזי במרחב טופולוגי זה, הנקרא w*, מתקיים שכדור היחידה הוא קומפקטי.

ראו גם

• מרחב טיכונוף
• משפט טיכונוף
• אנליזה פונקציונלית

---