עקרון המקסימום

הגרף של $|\cos (z)|$ בעיגול היחידה. ניתן לראות שאין מקסימום מקומי בפנים המעגל ושהמקסימום מתקבל על השפה

באנליזה מרוכבת, עקרון המקסימום קובע שאם $f$ פונקציה הולומורפית בתחום $D$ וקיים $z\in D$ שהוא מקסימום מקומי של $|f|$ אז $f$ קבועה.

בנוסח שקול, אם $f$ רציפה בקבוצה קומפקטית $\overline{D}$ והולומורפית בפנים שלה, אז המקסימום של $|f|$ ב־$\overline{D}$ מתקבל על השפה $\partial \overline{D}$.

הוכחה

יהי $z_0\in D$ מקסימום מקומי של $|f|$. כלומר קיים מעגל ברדיוס $R$ קטן מספיק שמרכזו $z_0$ כך שבעיגול $f$ הולומורפית ו־$z_0$ מקסימום מוחלט של $|f|$. יהי $0\le r<R$. לפי משפט הערך הממוצע של גאוס:

$f(z_0)=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}f(z_0+r{e}^{\theta i})d\theta$

לפי אי-שוויון המשולש האינטגרלי:

$|f(z_0)|\le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0+r{e}^{\theta i})|d\theta \le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0)|d\theta =|f(z_0)|$

זוהי שרשרת אי־שוויונות חלשים שמתחילה ונגמרת באותו מספר, ולכן כל אי־השוויונות הם שוויונות. לכן:

$\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0+r{e}^{\theta i})|d\theta \le \frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|f(z_0)|d\theta (*)$

נגדיר $g(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(|f(z_0)|-|f(z_0+r{e}^{\theta i})\left|\right)d\theta$ בקטע $[0,2\pi ]$. $g$ עולה חלש, שכן מהמקסימליות של $|f(z_0)|$:

$g^{\prime }(\theta )=|f(z_0)|-|f(z_0+r{e}^{\theta i})|\ge 0$

אולם מ־$(*)$ נובע כי $g(0)=g(2\pi )=0$, ולכן $g(x)=0$ לכל $x\in [0,2\pi ]$. מכאן $g^{\prime }(\theta )=0$ לכל $x\in [0,2\pi ]$, כלומר:

$|f(z_0+r{e}^{\theta i})|=|f(z_0)|$

קיבלנו כי $|f|$ קבועה בעיגול המוכל בתחום. לכן (כפי שניתן להסיק ממשוואות קושי-רימן) גם $f$ קבועה בעיגול. ממשפט היחידות נובע כי $f$ קבועה בכל התחום.

עקרון המקסימום לפונקציה הרמונית

ניתן לנסח גרסה דומה לעקרון המקסימום גם לפונקציות הרמוניות. בניגוד למקרה המרוכב, משפט היחידות איננו תקף לפונקציות הרמוניות (למשל, הפונקציה $u(x,y)=x$ עם $\{(x,y):x^2+y^2<1\}$ שווה זהותית לאפס על $\{0\}\times (0,1)$ אך איננה קבועה).

ראשית ננסח גרסה נקודתית:

משפט – אם $u$ פונקציה הרמונית בתחום $U$ ומקבלת מקסימום מקומי בנקודה $z_0\in U$, אז היא קבועה בסביבת $z_0$.

הגרסה הכללית היא:

משפט – אם $u$ הרמונית בתחום חסום $U$ ורציפה בשפה $\partial U$, אז אם קיימת $z_0\in U$ עבורה $\underset{z\in \overline{U}}{\max }u(z)=u(z_0)$ אז היא קבועה ב־$U$.

במיוחד, המשפט תקף עבור החלק המדומה והממשי של כל פונקציה אנליטית, ובעזרתו ניתן להוכיח טענות רבות.

למשל, אם $f$ פונקציה שלמה ומתקיים $\mathrm{\forall }|z|=1:f(z)\in \mathbb{ℝ}$, אז $f$ קבועה, משום שמתקיים $\mathrm{\forall }|z|=1:\text{Im}(f(z))=0$ ולפי עקרון המקסימום $\mathrm{\forall }|z|\le 1:\text{Im}(f(z))=0$, ואז הפונקציה $e^{f(z)i}:D\to \{|z|=1\}$ איננה העתקה פתוחה, ולכן היא קבועה, ולכן גם $f$ קבועה.