פונקציה הרמונית

במתמטיקה ופיזיקה, פונקציה הרמונית היא פונקציה $f:U\to \mathbb{ℝ}$ (כאשר $U$ קבוצה פתוחה ב־${\mathbb{ℝ}}^n$) המקיימת את משוואת לפלס שהיא המשוואה הדיפרנציאלית החלקית:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_1^2}+\cdots +\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_n^2}=0$

פונקציה שעבורה אגף שמאל של המשוואה הוא אי־שלילי בכל נקודה נקראת פונקציה תת־הרמונית, ופונקציה המקיימת שאגף שמאל של המשוואה הוא אי־חיובי בכל נקודה נקראת פונקציה על הרמונית.

דוגמאות

• פונקציה קבועה היא הרמונית.
• כל נגזרת של פונקציה הרמונית היא הרמונית.
• הפונקציה $f(x,y)=\ln (x^2+y^2)$ היא פונקציה הרמונית של שני משתנים המוגדרת בכל נקודה במישור חוץ מהראשית.
• אם $F:\mathbb{ℂ}\to \mathbb{ℂ}$ היא פונקציה הולומורפית אז ממשוואות קושי-רימן נובע שהפונקציות $u=\text{Re}(F),v=\text{Im}(F)$ הן פונקציות הרמוניות בשני משתנים. להפך, לכל פונקציה הרמונית בשני משתנים $u:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}$ אפשר למצוא פונקציה $v:{\mathbb{ℝ}}^2\to \mathbb{ℝ}$ כך שהפונקציה $u+vi$ היא הולומורפית. $v$ כזו נקראת הצמודה ההרמונית של $u$. אם $u$ מוגדרת על קבוצה פתוחה $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{ℝ}}^2$, אזי לא מובטח שקיימת לה צמודה הרמונית בכל התחום, אלא רק באופן מקומי.
• פוטנציאל של שדה חשמלי בנקודה שבה אין מטען חשמלי הוא פונקציה הרמונית בשלושה נעלמים. בדומה, פוטנציאל של שדה כבידה בנקודה בה אין מסה הוא פונקציה הרמונית.

תכונות

• פונקציה הרמונית היא תמיד אנליטית (למרות שלצורך ההגדרה, נדרש שפונקציה הרמונית תהיה רק גזירה פעמיים בכל נקודה). תכונה זו נכונה למשפחה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות שנקראות משוואות אליפטיות.
• עקרון המקסימום טוען שפונקציה הרמונית בתחום $U$ מקבלת את ערכה המקסימלי על השפה של $U$.
• תכונת הערך הממוצע היא שהערך של פונקציה הרמונית בנקודה $x$ שווה לממוצע הערכים שלה על פני ספירה סביב $x$. בסימונים, אם $u$ פונקציה הרמונית אז $u(x)=\frac{1}{{\text{vol}}_{n-1}(\partial B(x,r))}\underset{\partial B(x,r)}{\int }u(y)dy$.
• משפט ליוביל טוען שפונקציה הרמונית חסומה (למעשה מספיק שהפונקציה תהיה חסומה מאחד הכיוונים) המוגדרת על כל ${\mathbb{ℝ}}^n$ היא קבועה.

מושגים קשורים

• הלפלסיאן הוא האופרטור הדיפרנציאלי $\mathrm{\Delta }=\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}+\cdots +\frac{{\partial }^2}{\partial x_n^2}$. פונקציה הרמונית, לכן, היא פונקציה המקיימת $\mathrm{\Delta }f=0$.
• בגאומטריה דיפרנציאלית מכלילים את הגדרת הלפלסיאן (ולכן את הגדרת ההרמוניות) עבור תבניות דיפרנציאליות מסדר גבוה מ־0 וגם ליריעות עם מטריקה לא שטוחה. הלפלסיאן המוכלל נקרא אופרטור לפלס–בלטרמי.
• בתורת הגרפים מגדירים פונקציה הרמונית להיות פונקציה $f:V\to \mathbb{ℝ}$ (כאשר $V$ קבוצת הקדקודים של גרף) המקיימת (באנלוגיה לתכונת ערך הבינים) $f(v)=\frac{1}{|\{u|v\sim u\}|}\sum _{u\sim v}f(u)$ (כלומר, הערך של הפונקציה בקדקוד מסוים שווה לממוצע הערכים של הפונקציה על השכנים של הקדקוד).
• בעיית דיריכלה שואלת באילו תנאים יש פונקציה הרמונית בתחום $U$ שצמצומה לשפה של $U$ הוא פונקציה נתונה.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0