לפלסיאן

במתמטיקה ופיזיקה, אופרטור לפלס או לפלסיאן, המסומל באמצעות $\Delta \,$ או $\nabla ^{2}$ ונקרא על שם פייר-סימון לפלס, הוא אופרטור דיפרנציאלי, ובפרט אופרטור אליפטי, בעל שימושים רבים, הפועל על פונקציות סקלריות. בפיזיקה, הוא משמש למשל במודלים מתמטיים של התפשטות גלים ושל הולכת חום, וכן במשוואת הלמהולץ. הלפלסיאן הוא בעל חשיבות מרכזית באלקטרוסטטיקה ובמכניקת הזורמים, ומשמש במשוואת לפלס ומשוואת פואסון. במכניקת הקוונטים, הוא מייצג את רכיב האנרגיה הקינטית במשוואת שרדינגר. במתמטיקה, פונקציה אשר הלפלסיאן שלה מתאפס נקראת פונקציה הרמונית. הלפלסיאן הוא מרכיב ליבה בתורת הודג' ובתוצאותיה של קוהומולוגיית דה רהם.

הגדרה

אופרטור לפלס הוא אופרטור דיפרנציאלי מסדר שני במרחב אוקלידי n-ממדי, המוגדר כדיברגנץ ($\nabla$) של הגרדיאנט (${\vec {\nabla }}f$). אם $\ f$ היא פונקציה ממשית הגזירה פעמיים, אז הלפלסיאן של $\ f$ מוגדר על ידי

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot {\vec {\nabla }}f}    (1)

באופן שקול, הלפלסיאן של f הוא סכום כל הנגזרות החלקיות השניות הבלתי מעורבות בקואורדינטות הקרטזיות $\ x_{i}$:

$\ \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}$   (2)

כאופרטור דיפרנציאלי מסדר שני, אופרטור לפלס ממפה פונקציות-C^k לפונקציות- $\ C^{\left(k-2\right)}$ עבור הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ k\geq 2} . הביטויים לעיל מגדירים אופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \triangle : C^k \left( \mathbb{R}^n \right) \rightarrow C^{k-2} \left( \mathbb{R}^n \right) } , או באופן כללי יותר אופרטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \triangle : C^k \left( \Omega \right) \rightarrow C^{k-2} \left( \Omega \right) } לכל קבוצה פתוחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Omega } .

הלפלסיאן של פונקציה הוא גם העקבה של מטריצת הסיאן של הפונקציה, הגדרה נוחה לשימוש באלגברה ליניארית ובסטטיסטיקה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Delta f=\mathrm{tr}(H(f))}

המניעים להגדרת הלפלסיאן

כדוגמה למניע ששימש להגדרת הלפלסיאן, נביא את התאוריה הפיזיקלית של פעפוע. אופרטור לפלס (במסגרת משוואת לפלס) מופיע באופן טבעי בתיאור המתמטי של שיווי משקל. בפרט, אם u היא הצפיפות במצב שיווי משקל של גודל כלשהו (כגון ריכוז כימי), אזי השטף של u דרך שפתו של התחום V הוא אפס:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iint_{\partial V} \nabla u \cdot \mathbf{n}\, dS=0}

כאשר n הוא וקטור יחידה הניצב לשפתו של V. ממשפט הדיברגנץ נקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \iiint_V \mathrm{div} \nabla u\, dV=\iint_{\partial V} \nabla u\cdot\mathbf{n}\, dS=0}

משום שמשוואה זו תקפה לגבי כל תחום חלק V, ניתן להסיק כי

$\mathrm {div} \nabla u=\nabla \cdot \nabla u=\Delta u=0$

כאן, צד שמאל של המשוואה הוא אופרטור לפלס.

ביטויים במערכות צירים שונות

ערך מורחב – דל במערכות צירים שונות

שני ממדים

אופרטור לפלס בשני ממדים בקואורדינטות קרטזיות הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}}

ובקואורדינטות קוטביות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta f ={1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} }

שלושה ממדים

בשלושה ממדים, בקואורדינטות קרטזיות:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}

בקואורדינטות גליליות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta f ={1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 }. }

ובקואורדינטות כדוריות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta f ={1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}. }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta \ } היא הזווית הקוטבית (כלומר, הזווית מטה מציר z ו- $\phi$ היא הזווית האזימוטית (מציר x).

את הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)} ניתן להחליף בביטוי השקול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2} \left( r f \right)} .

N ממדים

בקואורדינטות כדוריות ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ממדים, עם הפרמטריזציה $x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}$ כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r \in [0,+\infty)} וכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta \in S^{N-1}} ,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta f =\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta_{S^{N-1}}} הוא אופרטור לפלס-בלטרמי בכדור $N-1$-ממדי, או לפלסיאן כדורי.

את הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\partial^2 f \over \partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r}} ניתן להחליף בביטוי השקול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \Bigl(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \Bigr)} . כתוצאה מכך, ניתן לחשב את הלפלסיאן הכדורי של פונקציה המוגדרת על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S^{N-1}\subset{\mathbb R}^N } בתור הלפלסיאן הרגיל של הפונקציה, אשר הורחב ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\mathbb R}^N \setminus\{0\}} כך שהוא קבוע לאורך הקרניים.

זהויות

אם f ו-g הן פונקציות, אז הלפלסיאן של מכפלתן יהיה

$\Delta (fg)=(\Delta f)g+2((\nabla f)\cdot (\nabla g))+f(\Delta g)$

מקרה מיוחד הוא זה שבו f היא פונקציה רדיאלית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(r)} ו-g היא הרמוניה ספרית, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ Y_{lm}(\theta,\phi)} . מקרה זה מופיע במודלים פיזיקליים רבים. הגרדיאנט של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f(r)} הוא וקטור רדיאלי והגרדיאנט של פונקציה זוויתית משיק לווקטור זה, לכן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2(\nabla f(r))\cdot(\nabla Y_{lm}(\theta,\phi))=0}

בנוסף, ההרמוניות הספריות הן פונקציות עצמיות של החלק הזוויתי של הלפלסיאן בקואורדינטות כדוריות:

הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Delta Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}

מכאן,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta( f(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi) )=\left(\frac{d^2f(r)}{dr^2} + \frac{2}{r} \frac{df(r)}{dr} - \frac{\ell(\ell+1)}{r^2} f(r)\right)Y_{\ell m}(\theta,\phi)}

הכללות

ניתן להכליל את הלפלסיאן למרחבים לא אוקלידים, בהן הוא יכול להיות אופרטור אליפטי, היפרבולי או אולטרה-היפרבולי.

במרחב מינקובסקי הופך הלפלסיאן לאופרטור ד'אלמבר (הנקרא גם ד'אלמברטיאן):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \square = \frac {1}{c^2}{\partial^2 \over \partial t^2 } - {\partial^2 \over \partial x^2 } - {\partial^2 \over \partial y^2 } - {\partial^2 \over \partial z^2 } }

הד'אלמברטיאן משמש למשל על מנת לרשום את משוואת הגלים בארבעה ממדים ואת משוואת קליין-גורדון. נציין כי הסימנים לפני הנגזרות המרחביות הם שליליים, בעוד במרחב אוקלידי הם יהיו חיוביים. המקדם המכיל את c נדרש אם המרחב והזמן נמדדים ביחידות שונות; מקדם נוסף ידרש אם, לדוגמה, כיוון x היה נמדד במטרים בעוד כיוון y היה נמדד בסנטימטרים. הפיזיקאים עובדים בדרך כלל במערכת של יחידות טבעיות כגון יחידות פלאנק, בהן c=1, על מנת לפשט את המשוואה.

אופרטור לפלס-בלטרמי

הכללה נוספת של הלפלסיאן היא אופרטור אליפטי הנקרא אופרטור לפלס-בלטרמי, המוגדר על יריעה רימנית. בדומה, ניתן להכליל את אופרטור ד'אלמבר לאופרטור היפרבולי על יריעה פסאודו-רימנית. את אופרטור לפלס-בלטרמי ניתן להמשיך ולהכליל לשדה טנזורי.

דרך נוספת להכליל את אופרטור לפלס ליריעות פסאודו-רימניות היא באמצעות אופרטור לפלס-דה רם, אשר פועל על תבניות דיפרנציאליות. הקשר בין אופרטור זה לאופרטור לפלס-בלטרמי ניתן על ידי זהות וייצנבוק.

הלפלסיאן הווקטורי

בעוד הלפלסיאן הסקלרי שהוגדר לעיל פועל על שדה סקלרי ומחזיר סקלר, הלפלסיאן הווקטורי פועל של שדה וקטורי ומחזיר וקטור.

הגדרה

הלפלסיאן הווקטורי של שדה וקטורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{A} } מוגדר על ידי

$\nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )$

בקואורדינטות קרטזיות הוא יוצג כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 \mathbf{A}=(\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z) }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,A_x} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,A_y} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,A_z} הם רכיבי הווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbf{A}} . (לביטויים במערכות צירים אחרות ראו דל במערכות צירים שונות)

הכללה לטנזורים

הלפלסיאן של שדה טנזורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} (כאשר סקלר ווקטור הם מקרים פרטיים של טנזור) מוגדר כדיברגנץ של הגרדיאנט של הטנזור:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 T=\nabla \cdot (\nabla T)}

במקרה המיוחד בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} הוא סקלר (טנזור מדרגה 0), נקבל את הלפלסיאן הסקלרי הרגיל. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} הוא וקטור (טנזור מדרגה 1), הגרדיאנט שלו הוא נגזרת קו-וריאנטית אשר תוצאה הפעלתה הוא טנזור מדרגה 2, והדיברגנץ של תוצאה זו הוא שוב וקטור. המשוואה ללפלסיאן הווקטורי לעיל עשויה לשמש על מנת להימנע מחשבון טנזורי וניתן להראות כי הוא שקולה לדיברגנץ של הגרדיאנט של הווקטור.

שימושים בפיזיקה

דוגמה לשימוש בלפלסיאן הווקטורי ניתן למצוא במשוואות נאוויה-סטוקס לנוזל ניוטוני בלתי דחיס:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+ ( \mathbf{v} \cdot \nabla ) \mathbf{v}\right)=\rho \mathbf{f}-\nabla p +\mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}\right)}

כאשר הביטוי הכולל את הלפלסיאן הווקטורי של שדה המהירות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu\left(\nabla ^2 \mathbf{v}\right)} מייצג את מאמץ הצמיגות בנוזל.

דוגמה נוספת היא משוואת הגל לשדה החשמלי המופקת ממשוואות מקסוול בהיעדר מטענים וזרמים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla^2 \mathbf{E} - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}=\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}=0}

את משוואה זו ניתן לכתוב גם בצורה

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Box^2\, \mathbf{E}=0}

כאשר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Box^2=\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2}

הוא הד'אלמברטיאן.

קישורים חיצוניים

• לפלסיאן, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

לפלסיאן32650215Q203484