תבנית דיפרנציאלית

באנליזה וקטורית, תבנית דיפרנציאלית (מאנגלית - Differential form), היא מעין הכללה של פונקציה ממשית המביאה דרך להסתכל על פונקציה כ"מפוצלת" במספר כיוונים שונים בלתי תלויים. היא מאפשרת להכליל אינטגרלים ולחשבם על סוגים שונים של יריעות במרחב האוקלידי. תבניות דיפרנציאליות הן מושג בסיסי באנליזה מתמטית, ויש להן שימושים רבים בתחומים שונים, כמו גאומטריה ופיזיקה.

הגדרה

באופן כללי, ניתן לדבר על תבנית k-דיפרנציאלית (וכשההקשר ברור נאמר פשוט תבנית k) במרחב ${\mathbb{ℝ}}^n$, כאשר $k\le n$ מספרים טבעיים כלשהם, ו-$\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{ℝ}}^n$.

נאמר שפונקציה $f:{({\mathbb{ℝ}}^n)}^k\to \mathbb{ℝ}$ היא חילופית, אם לכל $v_1,...,v_k\in {\mathbb{ℝ}}^n$ ולכל $1\le i<j\le k$ מתקיים $f(v_1,..,v_i,..,v_j,..,v_k)=-f(v_1,..,v_j,..,v_i,..,v_k)$.

נאמר ש-$f$ היא פונקציה מולטילינארית, אם לכל $v_1,...,v_k,w\in {\mathbb{ℝ}}^n;a,b\in \mathbb{ℝ}$ ולכל $1\le i\le k$ מתקיים $f(v_1,...,a{v}_i+bw,...,v_k)=af(v_1,...,v_i,...,v_k)+bf(v_1,...,w,...,v_k)$.

נסמן את מרחב הפונקציות ה-k מולטילינאריות ומתחלפות ב-${\mathrm{\Lambda }}^k({\mathbb{ℝ}}^n)$. קבוצה זו היא מרחב וקטורי מעל הממשיים.

אם כן, תבנית k-דיפרנציאלית היא פונקציה $\omega :\mathrm{\Omega }\to {\mathrm{\Lambda }}^k({\mathbb{ℝ}}^n)$.

מגדירים גם תבנית 0-דיפרנציאלית פשוט על ידי $\omega =f(x)$ כאשר f פונקציה ממשית שתחומה $\mathrm{\Omega }$.

מבנה כללי

ההגדרה לעיל נראית מסובכת ולא פרקטית. אך בפועל, לתבניות יש מבנה נוח למדי.

לצורך מציאת מבנה זה, נכליל את ההטלות ממשתנה אחד לכמה משתנים, באופן הבא: לכל אינדקסים $1\le i_1<i_2<...<i_k\le n$ נגדיר תבנית k : ${\pi }_{i_1,i_2,...,i_k}(v^1,...,v^k)=\det \left(\begin{array}{ccc}{v^1}_{i_1}& ...& {v^k}_{i_1}\\ ...& ...& ...\\ {v^1}_{i_k}& ...& {v^k}_{i_k}\end{array}\right)$

(כאשר det היא הדטרמיננטה), שתקרא ההטלה לפי האינדקסים $i_1,i_2,...,i_k$ ב-${\mathbb{ℝ}}^n$. נהוג גם לסמן תבנית זו על ידי ${dx}_{i_1}\wedge {dx}_{i_2}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k}$, כאשר $\wedge$ מכונה "wedge product" (ראו "פעולות על תבניות" בהמשך).

ניתן להוכיח כי הקבוצה $\{{\pi }_{i_1,i_2,...,i_k}:1\le i_1<i_2<...<i_k\le n\}$ היא בסיס ל ${\mathrm{\Lambda }}^k({\mathbb{ℝ}}^n)$, ובפרט ממדו הוא המקדם הבינומי $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$.

אם כן, כל תבנית k ניתן לרשום מהצורה $\omega =\sum {\omega }_{i_1,i_2,...,i_k}{\pi }_{i_1,i_2,...,i_k}=\sum {\omega }_{i_1,i_2,...,i_k}{dx}_{i_1}\wedge {dx}_{i_2}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k}$ כאשר הסכום הוא על כל האינדקסים הסדורים, ו-${\omega }_{i_1,i_2,...,i_k}$ פונקציות ממשיות שתחומן הוא $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{ℝ}}^n$.

דוגמאות

• במקרה k=n=1, תבנית -1 כללית היא מהצורה $fdx$, כאשר f פונקציה ממשית.

• תבנית-1 כללית ב${\mathbb{ℝ}}^n$ היא מהצורה $f_{1}d{x}_1+...+f_{n}d{x}_n$, כאשר $f_1,...,f_n$ פונקציות ממשיות.

• תבנית-2 כללית ב${\mathbb{ℝ}}^3$ היא מהצורה $p(x,y,z)dy\wedge dz+Q(x,y,z)dz\wedge dx+R(x,y,z)dx\wedge dy$, כאשר P,Q,R פונקציות ממשיות.

פעולות על תבניות

• סכום

אם $\omega =\sum {\omega }_{i_1,...,i_k}{dx}_{i_1}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k};\tau =\sum {\tau }_{i_1,...,i_k}{dx}_{i_1}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k}$ שתי תבניות-k, אז החיבור ביניהן מוגדר באופן הטבעי - $\omega +\tau =\sum ({\omega }_{i_1,...,i_k}+{\tau }_{i_1,...,i_k}){dx}_{i_1}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k}$.

• מכפלה

אם $\omega =\sum {\omega }_{i_1,...,i_k}{dx}_{i_1}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k}$ תבנית-k, ו-$\tau =\sum {\tau }_{j_1,...,j_l}{dx}_{j_1}\wedge ...\wedge {dx}_{j_l}$ תבנית-l, אז מכפלת התבניות היא תבנית-k+l המוגדרת כך: $\omega \wedge \tau =\sum {\omega }_{i_1,...,i_k}{\tau }_{j_1,...,j_l}{dx}_{i_1}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k}\wedge {dx}_{j_1}\wedge ...\wedge {dx}_{j_l}$

למשל, ב-${\mathbb{ℝ}}^3$ מתקיים $(xdy+zdx)\wedge dz=xdy\wedge dz+zdx\wedge dz$.

• דיפרנציאל

פעולה זו מכלילה את הדיפרנציאל של פונקציה ממשית לתבניות דיפרנציאליות.

נאמר שתבנית $\omega =\sum {\omega }_{i_1,...,i_k}{dx}_{i_1}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k}$ היא תבנית דיפרנציאבילית אם הפונקציות ${\omega }_{i_1,...,i_k}$ כולן דיפרנציאביליות. אם כך, מגדירים את הדיפנציאל של התבנית להיות ה-k+1 תבנית הבאה: $d\omega =\sum d{\omega }_{i_1,...,i_k}{dx}_{i_1}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k}=\sum \sum _{t=1}^n\frac{{\partial \omega }_{i_1,...,i_k}}{\partial x_t}d{x}_t\wedge {dx}_{i_1}\wedge ...\wedge {dx}_{i_k}$.

תבנית נקראת מדויקת, אם היא דיפרנציאל של תבנית אחרת. תבנית נקראת סגורה, אם הדיפרנציאל שלה שווה זהותית לאפס.

תכונות

• חילופיות החיבור - $\omega +\tau =\tau +\omega$.

• ${dx}_i\wedge {dx}_i=0$.

• אנטי סימטריות הכפל - ${dx}_i\wedge {dx}_j=-{dx}_j\wedge {dx}_i$.

• אם $\omega$ תבנית-k ו-$\tau$ תבנית-l, אז $\omega \wedge \tau ={(-1)}^{kl}\tau \wedge \omega$. בפרט, אם k=l מספר אי זוגי, מתקבל ${\omega }^2=0$ .

• אם $\omega$ תבנית-k ו-$\tau$ תבנית-l שתיהן דיפרנציאביליות, מתקיים כלל לייבניץ המוכלל לתבניות - $d(\omega \wedge \tau )=\tau d\omega +{(-1)}^k\omega d\tau$.

• אם $\omega$ תבנית-k גזירה ברציפות פעמיים, מתקיים $d(d(\omega ))=0$.

• כל תבנית דיפרנציאבילית מדויקת היא סגורה. ההפך נכון בתחום כוכבי, לפי למת פואנקרה.

ראו גם

• אנליזה וקטורית
• משפט סטוקס