שדה חשמלי

בפיזיקה, למרחב המקיף מטען חשמלי (או באזור בו יש שדה מגנטי המשתנה בזמן) יש תכונה הנקראת שדה חשמלי. שדה זה מפעיל כוח על גופים הטעונים חשמלית. הרעיון של שדה חשמלי הוצע על ידי מייקל פאראדיי.

השדה החשמלי הוא וקטור שנמדד על פי מערכת היחידות הבינלאומית ביחידות של ניוטון לקולון (${\rm {\tfrac {N}{C}}}$), או באופן שקול, ביחידות של וולט למטר (${\rm {\tfrac {V}{m}}}$) .

הגדרת השדה החשמלי

באלקטרוסטטיקה (כאשר כל המטענים אליהם מתייחסים נמצאים במנוחה) כיוון השדה עבור נקודה כלשהי במרחב מוגדר על ידי כיוון הכוח החשמלי המופעל על מטען בוחן חיובי המונח בנקודה זו. עוצמת השדה מוגדרת על ידי היחס בין גודלו של הכוח החשמלי המופעל על המטען המונח בנקודה זו לבין גודלו של המטען בנקודה. הרעיון הוא לבדוק את השפעת כלל המטענים במרחב על מטען הבוחן, באופן כזה שלמטען הבוחן אין השפעה על השדה הנמדד.

השדה החשמלי מוגדר ככוח על מטען הבוחן ליחידת מטען בוחן: ${\vec {E}}={\frac {\vec {F}}{q}}$ כאשר:

${\vec {F}}$ הכוח החשמלי הנתון על ידי חוק קולון.

$q$ גודל המטען של "מטען בוחן".

המשוואה לעיל תקפה רק כאשר כל המטענים במנוחה. במקרה הכללי של מטענים נעים המשוואה הנ"ל הופכת למשוואה של כוח לורנץ.

תיאור גרפי של השדה החשמלי

תיאור גרפי של שדה חשמלי המקיף מטען חיובי (אדום) ומטען שלילי (ירוק) (לתמונה גדולה יותר).

קיימות מספר דרכים לתיאור גרפי של שדה חשמלי. שדה חשמלי סטטי יתואר בדרך כלל על ידי קווי שדה. קווי שדה הם קווים שכיוונם מתאר את כיוון תנועתו של מטען חיובי מנקודה מסוימת, ואורכם מתאר את גודל הכוח שיפעל על אותו מטען. צפיפותם היחסית של קווי השדה בנקודה מסוימת, מלמדים על עוצמת השדה החשמלי באותה נקודה: ככל שקווי השדה צפופים יותר כך עוצמת השדה גבוהה יותר, ולהפך. שדה חשמלי חייב להיות סימטרי.

השדה החשמלי הנוצר על ידי מטען חיובי ידחה מטען בוחן חיובי, ולכן קווי השדה סביבו יתוארו על ידי חיצים הפונים החוצה. באופן דומה השדה הנוצר על ידי מטען שלילי ימשוך מטען בוחן חיובי, ולכן קווי השדה סביבו יתוארו על ידי חיצים הפונים פנימה.

שדה חשמלי של מטען נקודתי

שדה חשמלי של מטען נקודתי

שדה חשמלי בין שני מטענים נקודתיים מנוגדים

כל מקור טעון חשמלית יוצר שדה חשמלי במרחב. עוצמת השדה בכל נקודה תלויה בהתפלגות המטען על המקור, ולכן קשה לחשב אותה למקרה כללי. המקרה הבסיסי ביותר הוא כאשר המקור הוא חסר ממדים, כלומר הוא נקודה. לכן מנתחים מרחב ריק שבו נמצא רק מטען אחד: חלקיק נקודתי.

הפיזיקאי שארל-אוגוסטן דה קולון היה הראשון שגילה את הקשר בין גודלו של מטען $q$ המונח בשדה חשמלי שיוצר מטען אחר $Q$, ובין גודל הכוח החשמלי $F$ המופעל עליו. הנוסחה המתארת את הכוח הזה נקראה על שמו – "חוק קולון", ולפיה הכוח החשמלי שיפעל על מטען כלשהו שיונח בשדה יהיה מכפלה של גודל המטען בגודל המטען שיצר את השדה, מחולק בריבוע המרחק מהמטען. בילים אחרות, השדה החשמלי במרחק $r$ ממקור חשמלי נקודתי יחיד שמטענו $Q$ הוא $E={\frac {kQ}{r^{2}}}$, והכוח שמפעיל השדה על המטען $q$ נתון על ידי $F=qE={\frac {kqQ}{r^{2}}}$.

כיוונו של הכוח הוא רדיאלי, לכוון המטען שמחולל את השדה (אם המטענים הם מנוגדים, ואז הוא כוח משיכה) או החוצה ממנו (אם המטענים הם שווי-סימן, ואז הוא כוח דחיה). נוח יותר לעבוד עם וקטורים, כדי לטפל בצורה נוחה יותר בכיווני הכוחות. מסמנים ב־${\hat {r}}$ וקטור יחידה בכיוון מ־$\ Q$ אל $q$. אם המטען $Q$ אינו נמצא בראשית הצירים אלא במיקום שרירותי כלשהוא ${\vec {R}}$, וקטור היחידה הוא ${\hat {r}}={\frac {{\vec {r}}-{\vec {R}}}{|{\vec {r}}-{\vec {R}}|}}$ (כוונו ככיוון וקטור ההפרש בין וקטורי המקום והוא מחולק בגודלו של וקטור ההפרש כדי לקבל וקטור שגודלו יחידה).

לכן הכוח הפועל בין שני מטענים נקודתיים הנמצאים בנקודות ${\vec {R}},{\vec {r}}$ בהתאמה הוא ${\vec {F}}=q{\vec {E}}=qQk{\frac {{\vec {r}}-{\vec {R}}}{|{\vec {r}}-{\vec {R}}|^{3}}}$

הקבוע $k$ הוא קבוע קולון במערכת היחידות הבינלאומית. במקומו רושמים לפעמים ${\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}$ ‏($\epsilon _{0}$ הוא הקבוע הדיאלקטרי, או הפֶּרְמיטיביות, של הריק). כאן $k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\approx 9\times 10^{9}\ {\rm {[{\frac {N\cdot m^{2}}{Coul^{2}}}]}}$ . ביחידות cgs ‏ $k=1$, כי מודדים את המטען ביחידות esu. ביחידות אלה חוק קולון הוא מהצורה

${\vec {E}}={\frac {Q}{r^{2}}}{\hat {r}}={\frac {Q}{r^{3}}}{\vec {r}}$

זוהי נוסחה וקטורית שמשמעותה היא שגודל השדה הוא $E={\frac {kQ}{r^{2}}}$, וכיוונו הוא ככיוון הקו המחבר את הנקודה שבה בודקים את השדה עם הנקודה בה נמצא המטען היוצר את השדה. הסימן החיובי של הנוסחה מציין ששני מטענים חיוביים דוחים זה את זה.

נוסחה כללית לשדה אלקטרוסטטי

הפיתוח של נוסחת השדה החשמלי שיוצר מטען נקודתי, משמש בסיס למקרים כלליים ומורכבים יותר. בגלל עקרון הסופרפוזיציה, כאשר יש במרחב מספר מטענים נקודתיים סטטיים (שאינם נעים), מחשבים את השדה החשמלי שמפיק כל אחד מהם, והשדה הכללי המתקבל הוא סכום וקטורי של השדות של כל המטענים הנקודתיים. אם כל מטען $q_{i}$ נמצא בנקודה ${\vec {r}}_{i}$, הנוסחה לשדה החשמלי הכולל שיתקבל בכל נקודה ${\vec {r}}$ היא לפיכך

${\vec {E}}({\vec {r}})=k\sum _{i}{\frac {q_{i}}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{i}|^{3}}}({\vec {r}}-{\vec {r}}_{i})$

בגבול שבו המטען החשמלי אינו אוסף של מטענים בדידים אלא הוא התפלגות מטען רציפה, הסכום הופך לאינטגרל

${\vec {E}}({\vec {r}})=k\iiint {\frac {\rho ({\vec {R}})}{|{\vec {r}}-{\vec {R}}|^{3}}}({\vec {r}}-{\vec {R}})dR^{3}$

שלושת סימני האינטגרל מסמנים אינטגרציה בשלושת הממדים, כלומר האינטגרל הוא נפחי על כל המרחב. בדרך כלל המטען מפולג באזור מסוים בלבד, ואז $\ \rho ({\vec {R}})=0$ מחוץ לו, והאינטגרציה מתבצעת רק על האזור שבו יש מטען ממש.

במקרים שבהם פיזור המטען במרחב כפוף לסימטריה כלשהי (כגון תיל ארוך טעון או קליפה כדורית טעונה), ניתן לבחור מערכת קואורדינטות שמתאימה לסימטריה, ולהיעזר בחוק גאוס לחישוב השדה החשמלי השקול שנובע ממטען זה. כך למשל, אם נתונה התפלגות מטען בעלת סימטריה כדורית, כדאי לנתח את הבעיה כשהיא מנותחת בקואורדינטות כדוריות, כי אז, משיקולי סימטריה, הרכיבים הזוויתיים של השדה החשמלי חייבים להיות אפס, ורק הרכיב הרדיאלי אינו מתאפס.

גזירה מתוך הפוטנציאל החשמלי והמגנטי

השדה החשמלי מושרה כתוצאה מנוכחות מטען חשמלי (התפלגות מטען) או כתוצאה משינויים בזמן בשדה המגנטי. ליתר דיוק, השדה החשמלי מושרה על ידי הפוטנציאל החשמלי (זהו 4-וקטור) לפי הנוסחה:

$\ {\vec {E}}=-{\vec {\nabla }}\Phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {A}}$

כאשר $\Phi$ הוא הפוטנציאל הסקלרי ו-${\vec {A}}$ הוא הפוטנציאל הווקטורי.

שדות חשמליים של מטענים לא נקודתיים

שדה של כדור טעון

חוק גאוס מיושם לחישוב שדה שיוצר כדור טעון

בהינתן כדור שסך המטען עליו הוא $\ Q$, ופיזור המטען עליו הינו אחיד.

שיקולי סימטריה מראים כי קווי השדה החשמלי שיווצרו מחוץ לכדור חייבים להיות מכוונים רדיאלית, כך שהם יהיו מאונכים לפני הכדור. את השדה שייווצר ניתן לחשב לפי חוק גאוס, תוך בחירת מעטפת כדורית שמרחקה ממרכז הכדור הוא $\ r$. לפי החוק, עבור כל $\ r$ גדול מרדיוס הכדור עצמו (כלומר, כל נקודה מחוץ לכדור): $\epsilon _{0}\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}=\Sigma q$. מאחר ששטחה של קליפה כדורית הוא $\ 4\pi r^{2}$, מקבלים $\ \epsilon _{0}E4\pi r^{2}=Q$ או $\ E={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Q}{r^{2}}}$. כלומר, השדה החשמלי שיוצר כדור מוליך טעון, במרחב שמחוץ לו, הוא זהה לשדה שהיה יוצר מטען זהה שהוא נקודתי.

על מנת לחשב את השדה בתוכו תחילה יש לחשב את צפיפות המטען ליחידת נפח: $\rho {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{\frac {Q}{V}}={\frac {Q}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}$, כעת על מנת לחשב את השדה בנקודה מסוימת ברדיוס r בתוך הכדור נבנה מעטפת גאוס כדורית כך שמרכז המעטפת נמצא במרכז הכדור והנקודה מוכלת בשפתו. נשתמש בחוק גאוס: $\Phi =\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}{\overrightarrow {E}}\,{\overrightarrow {\mathrm {d} S}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V$. מכאן: $E\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}ds=E\cdot 4\pi r^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho \,\int \!\!\!\!\!\int \!\!\!\!\!\int _{V}\mathrm {d} V={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho {\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

נציב את הצפיפות הנפחית:

$E\cdot 4\pi r^{2}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}{\frac {4}{3}}\pi r^{3}\cdot {\frac {Q}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}Q\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}$

נבודד את השדה, את הכיוון אנחנו יודעים מפאת סימטריה ספריית שהוא רדיאלי.

${\vec {E}}=Q{\frac {r}{4\pi R^{3}\varepsilon _{0}}}{\hat {r}}$

שדה של לוח אינסופי

אם על פניו של לוח אינסופי מפוזר באופן אחיד מטען כלשהו, כך שצפיפותו ליחידת שטח היא $\ \sigma$, ניתן לראות, כתוצאה משיקולי סימטריה, שהשדה החשמלי שהוא מפעיל יהיה מאונך לפני הלוח. כמו כן אין זה משנה מול איזה חלק של הלוח יוצב המטען המושפע מהשדה (בהנחה שהלוח אינסופי או שהמרחקים קטנים מאוד), כי גודל עוצמת השדה יושפע רק ממרחק המטען מהלוח. המעטפת הגלילית שנבחר לצורך השימוש בחוק גאוס תהיה מאונכת ללוח, ואחד מבסיסי הגליל שלנו יעבור בדיוק באמצעו. אם מדובר בלוח מוליך, לא יהיה בתוכו שדה חשמלי. קווי השדה היוצאים מהלוח יהיו מאונכים לבסיס השני של הגליל ומקבילים למעטפת שלו, כך שרק דרך הבסיס האחד יעבור שטף חשמלי. עתה נחשב את השדה במרחק r מהלוח המוליך:

$\ \epsilon _{0}\oint {\vec {E}}\cdot d{\vec {S}}=\sum {q}$
$\ 2\epsilon _{0}EA=\sigma A$
$\ E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}$

בדומה למקרה הקודם, גם כאן, A מציינת יחידת שטח זמנית - את שטח בסיס הגליל שדרכו עובר השטף, ואת השטח על פני הלוח, שתופסים המטענים הכלואים במעטפת הגלילית. לפרמטר זה אין שום השפעה, כמו שניתן לראות, ובאופן פרדוקסלי גם למרחק מהלוח אין כל השפעה, והשדה תלוי אך ורק בצפיפות המטען. מובן שכל האמור נכון רק ללוח אינסופי או למרחק קטן מאד מלוח טעון גדול מאד.

השדה במקרה של קבל לוחות הוא סופרפוזיציה של השדות של שני הלוחות והוא: $E={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$ בין הלוחות, ואפס מחוץ לקבל.

ראו גם

• שדה אלקטרומגנטי
• טנזור השדה האלקטרומגנטי
• משוואות מקסוול

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

22748868שדה חשמלי