מתאם עצמי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף אוטוקורלציה)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
קובץ:Acf new.svg
למעלה: סרטוט של סדרה של 100 מספרים אקראיים המסתירה פונקציית סינוס. למטה: פונקציית הסינוס מתגלה בקורלוגרם (אנ') שנוצר על ידי מתאם עצמי.
קובץ:Comparison convolution correlation.svg
השוואה חזותית של קונבולציה, מתאם צולב ומתאם עצמי. עבור הפעולות הכוללות את הפונקציה f, ובהנחה שהגובה של f הוא 1.0, ערך התוצאה ב-5 נקודות שונות מסומן על ידי השטח המוצלל מתחת לכל נקודה. כמו כן, הסימטריה של f היא הסיבה לכך ש־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g*f} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \star g} זהים בדוגמה זו.

מתאם עצמי או אוטו־קורלציה (נכתב גם אוטוקורלציה; באנגלית: Autocorrelation), המכונה גם מתאם סדרתי (serial correlation) במקרה של זמן בדיד, הוא פונקציה המודדת את המתאם בין אות לבין גרסה מושהית שלו. מתאם עצמי מעריך את הדמיון בין ערכי משתנה אקראי בנקודות זמן שונות. כלי מתמטי זה מסייע בזיהוי דפוסים חוזרים או מחזוריות סמויה בתוך אות שעלולים להיות מוסתרים על ידי רעש. מתאם עצמי משמש בהרחבה בעיבוד אותות, ניתוח סדרות עִתיות וניתוח במישור הזמן כדי לחקור את התנהגות הנתונים לאורך זמן.

הגדרת המתאם העצמי משתנה בין תחומי מחקר שונים, ולא כל ההגדרות זהות. בתחומים מסוימים נעשה שימוש במונח זה לסירוגין עם המונח שונות משותפת עצמית (אוטו־קווריאנס).

מודלים רבים של סדרות עִתיות כוללים מתאם עצמי, כגון תהליכי שורש יחידה (אנ'), תהליכים סטציונריים-נטייתיים (Trend-stationary process), מודלים אוטו-רגרסיביים ותהליכי ממוצע נע.

מתאם עצמי של תהליכים סטוכסטיים

בסטטיסטיקה, מתאם עצמי של תהליך סטוכסטי ממשי או מרוכב מתייחס למתאם פירסון בין ערכי התהליך בזמנים שונים, כתלות בשני זמני המדידה או בהפרש הזמן ביניהם.

יהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{X_t\}} תהליך סטוכסטי, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} מייצגת נקודה כלשהי בזמן – ערך שלם עבור תהליך בזמן בדיד או מספר ממשי עבור תהליך בזמן רציף. הערך הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_t} הוא התוצאה (או המימוש (Realization)) של התהליך בזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} .

בהנחה שלתהליך יש תוחלת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_t} ושונות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_t^2} בכל זמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t} , אזי פונקציית המתאם העצמי בין הזמנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_2} מוגדרת כך:[1][2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}(t_1,t_2) = \operatorname{E} \left[ X_{t_1} \overline{X}_{t_2}\right]}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{E}} הוא אופרטור התוחלת והקו העליון מייצג צמוד מרוכב. התוחלת עשויה שלא להיות מוגדרת היטב בכל המקרים.

אם מחסירים את התוחלת לפני הכפל, התוצאה היא פונקציית השונות המשותפת העצמית בין הזמנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_2} .[1][2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2) &= \operatorname{E} \left[ (X_{t_1} - \mu_{t_1})\overline{(X_{t_2} - \mu_{t_2})} \right] \\ &= \operatorname{E}\left[X_{t_1} \overline{X}_{t_2} \right] - \mu_{t_1}\overline{\mu}_{t_2} \\ &= \operatorname{R}_{XX}(t_1,t_2) - \mu_{t_1}\overline{\mu}_{t_2} \end{align} }

ביטוי זה אינו תמיד מוגדר היטב עבור כל הסדרות העתיות או התהליכים. התוחלת עשויה שלא להתקיים, והשונות יכולה להיות אפס (כמו במקרה של תהליך קבוע) או אינסופית (כפי שניתן לראות בתהליכים שבהם ההתפלגות חסרה מומנטים מוגדרים היטב, כגון התפלגויות מסוג חוק החזקה).

הגדרה לתהליך סטוכסטי סטציונרי במובן הרחב

תהליך סטציונרי במובן הרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ X_t \right\}} הוא תהליך שבו התוחלת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} והשונות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma^2} אינן תלויות בזמן. בנוסף, פונקציית השונות המשותפת העצמית שלו תלויה רק בהפרש הזמנים (ההשהיה) בין שתי נקודות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_1} ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t_2} , ולא במיקומן המוחלט בזמן. מכאן נובע כי פונקציות השונות המשותפת העצמית והמתאם העצמי ניתנות לייצוג כפונקציות של השהיית הזמן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau=t_2-t_1} , והן פונקציות זוגיות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} . כתוצאה מכך, פונקציית המתאם העצמי מקבלת את הצורה:[1]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}(\tau) = \operatorname{E}\left[X_{t+\tau} \overline{X}_{t} \right]}

ופונקציית השונות המשותפת העצמית היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \operatorname{K}_{XX}(\tau) &= \operatorname{E}\left[ (X_{t+\tau} - \mu)\overline{(X_{t} - \mu)} \right] \\ &= \operatorname{E} \left[ X_{t+\tau} \overline{X}_{t} \right] - \mu\overline{\mu} \\ &= \operatorname{R}_{XX}(\tau) - \mu\overline{\mu} \end{align} }

ובפרט:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{K}_{XX}(0) = \sigma^2}

נרמול

בכמה תחומים, כגון סטטיסטיקה וניתוח סדרות עתיות, נהוג לנרמל את פונקציית השונות המשותפת העצמית כדי לקבל מקדם מתאם פירסון שתלוי בזמן. לעומת זאת, בתחומים אחרים, כמו הנדסה, לרוב אין מבצעים נרמול, והמונחים מתאם עצמי (אוטו־קורלציה) ושונות משותפת עצמית (אוטו־קווריאנס) משמשים לעיתים לסירוגין.

מקדם המתאם העצמי של תהליך סטוכסטי מוגדר כך:[2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho_{XX}(t_1,t_2) = \frac{\operatorname{K}_{XX}(t_1,t_2)}{\sigma_{t_1}\sigma_{t_2}} = \frac{\operatorname{E}\left[(X_{t_1} - \mu_{t_1}) \overline{(X_{t_2} - \mu_{t_2})} \right]}{\sigma_{t_1}\sigma_{t_2}}}

כאשר פונקציה זו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho_{XX}} מוגדרת היטב, ערכיה נמצאים בטווח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [-1,1]} , כך ש־1 מציין מתאם מושלם ו־1- מציין אנטי-מתאם מושלם.

עבור תהליך סטציונרי במובן הרחב (WSS), מקדם המתאם העצמי מקבל את הצורה הפשוטה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho_{XX}(\tau) = \frac{\operatorname{K}_{XX}(\tau)}{\sigma^2} = \frac{\operatorname{E} \left[(X_{t+\tau} - \mu)\overline{(X_{t} - \mu)}\right]}{\sigma^2}} .

הנרמול חשוב משום שהוא מאפשר לפרש את המתאם העצמי כמדד חסר קנה מידה של תלות סטטיסטית. בנוסף, לנרמול יש השפעה על התכונות הסטטיסטיות של המתאים העצמיים המחושבים.

תכונות

סימטריה

פונקציית המתאם העצמי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}} היא פונקציה זוגית, כלומר:[2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}(t_1,t_2) = \overline{\operatorname{R}_{XX}(t_2,t_1)}}

ובמקרה של תהליך WSS:[2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}(\tau) = \overline{\operatorname{R}_{XX}(-\tau)}}

מקסימום באפס

עבור תהליך WSS:[2]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|\operatorname{R}_{XX}(\tau)\right| \leq \operatorname{R}_{XX}(0)}

בנוסף, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}(0)} הוא תמיד ממשי.

אי-שוויון קושי-שוורץ

לכל תהליך סטוכסטי מתקיים אי-שוויון קושי-שוורץ:[1]

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|\operatorname{R}_{XX}(t_1,t_2)\right|^2 \leq \operatorname{E}\left[ |X_{t_1}|^2\right] \operatorname{E}\left[|X_{t_2}|^2\right]}

מתאם עצמי של רעש לבן

עבור רעש לבן בזמן רציף, לפונקציית המתאם העצמי יהיה שיא חד ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau=0} המיוצג על ידי פונקציית דלתא של דיראק, והיא תהיה אפס עבור כל ערך אחר של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} .

משפט וינר-חינצ'ין

משפט וינר-חינצ'ין (אנ') קובע כי פונקציית המתאם העצמי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}} קשורה לצפיפות ההספק הספקטרית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{XX}} דרך התמרת פורייה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S_{XX}(f) e^{i 2 \pi f \tau} \, {\rm d}f}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{XX}(f) = \int_{-\infty}^\infty \operatorname{R}_{XX}(\tau) e^{- i 2 \pi f \tau} \, {\rm d}\tau }

במקרה של פונקציות ממשיות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}} סימטרית ולכן ההתמרה מכילה רק רכיבי קוסינוס ממשיים (כלומר שאינם מוכפלים ביחידה המדומה):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{R}_{XX}(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S_{XX}(f) \cos(2 \pi f \tau) \, {\rm d}f}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{XX}(f) = \int_{-\infty}^\infty \operatorname{R}_{XX}(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, {\rm d}\tau }

יישומים

היכולת של מתאם עצמי לזהות תבניות חוזרות בנתונים הובילה ליישומים רבים בתחומים שונים:

  • ספקטרוסקופיית מתאם פלואורסצנטי (FCS):[3] משמשת לניתוח דיפוזיה מולקולרית ותגובות כימיות.[4]
  • מדידת ספקטרום אופטי ופולסי לייזר: אוטוקורלטורים אופטיים (אנ') מסייעים במדידת ספקטרומים אופטיים ופולסים אולטרה-קצרים.
  • פיזור אור דינמי (DLS): קובע התפלגות של גודלי חלקיקים בתרחיפים ננומטריים באמצעות ניתוח תבניות נקודתיות של לייזר.
  • עיבוד אותות ב-GPS: מסייע בתיקון השהיית התפשטות (propagation delay) על ידי יישור אות משוחזר של המקלט עם אות הלוויין.
  • פיזור קרני רנטגן וניתוח ננו-מבנים: התמרת פורייה של פונקציית המתאם העצמי המרחבי משמש לחקר צפיפות אלקטרונים.
  • מדעי השטח (אנ') ומיקרוסקופיה: קושר בין מורפולוגיית משטח לתכונות פונקציונליות במיקרוסקופיית סריקה.
  • אופטיקה וניתוח קוהרנטיות: מתאמים עצמיים מנורמלים מודדים את הקוהרנטיות של שדות אלקטרומגנטיים.
  • אסטרונומיה: קובע תדירויות פולסרים.
  • מוזיקה ועיבוד אותות: משמש בזיהוי גובה צליל (לדוגמה, מכווני כלים, Auto-Tune) ובחישוב קצב מוזיקלי.
  • עקיפת קרני X: פונקציית פטרסון מסייעת לשחזר מידע חסר של מופעי פורייה (Fourier phases) במבנים אטומיים.
  • סטטיסטיקה וניתוח מרחבי: מתאם עצמי מרחבי מסייע בהערכת אי-ודאות במדגמים של אוכלוסיות הטרוגניות.
  • ספקטרומטריית מסה: אלגוריתם SEQUEST מדרג ספקטרומים של פפטידים באמצעות מתאם עצמי.
  • אסטרופיזיקה: משמש לניתוח התפלגות גלקסיות ולחקר מקורות X באנרגיה נמוכה.
  • שרשראות מרקוב מונטה קרלו (MCMC): מתאם עצמי נלקח בחשבון עבור הערכת שגיאות מדויקת.
  • גאופיזיקה וניתוח סייסמי: מתאם עצמי מחושב לצורך ניתוח תכונות סייסמיות בסקרים תת-קרקעיים בתלת-ממד.
  • אולטרסאונד רפואי: מתאם עצמי משמש להדמיית זרימת דם.
  • אופטימיזציה של תיקי השקעות: מתאם עצמי בתשואות נכסים משפיע על החלטות השקעה.
  • מדידת תדר במערכות חשמל: משמש בממסרי מדידה נומריים לאנליזה מדויקת של תדרי מערכת החשמל.

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Kmenta, Jan (1986). Elements of Econometrics (Second ed.). New York: Macmillan. pp. 298–334. ISBN 978-0-02-365070-3.
  • Marno Verbeek (10 באוגוסט 2017). A Guide to Modern Econometrics. Wiley. ISBN 978-1-119-40110-0. {{cite book}}: (עזרה)
  • Soltanalian, Mojtaba; Stoica, Petre (2012). "Computational Design of Sequences with Good Correlation Properties". IEEE Transactions on Signal Processing. 60 (5): 2180. Bibcode:2012ITSP...60.2180S. doi:10.1109/TSP.2012.2186134.
  • Solomon W. Golomb, and Guang Gong. Signal design for good correlation: for wireless communication, cryptography, and radar. Cambridge University Press, 2005.
  • Klapetek, Petr (2018). Quantitative Data Processing in Scanning Probe Microscopy: SPM Applications for Nanometrology (Second ed.). Elsevier. pp. 108–112 מסת"ב 9780128133477.
  • Weisstein, Eric W. "Autocorrelation". MathWorld.

קישורים חיצוניים

  • מתאם עצמי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Gubner, John A. (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86470-1.
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Kun Il Park, Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, מסת"ב 978-3-319-68074-3
  3. ↑ Elson, Elliot L. (בדצמבר 2011). "Fluorescence Correlation Spectroscopy: Past, Present, Future". Biophysical Journal (באנגלית). 101 (12): 2855–2870. Bibcode:2011BpJ...101.2855E. doi:10.1016/j.bpj.2011.11.012. PMC 3244056. PMID 22208184. {{cite journal}}: (עזרה)
  4. ↑ Hołyst, Robert; Poniewierski, Andrzej; Zhang, Xuzhu (2017). "Analytical form of the autocorrelation function for the fluorescence correlation spectroscopy". Soft Matter (באנגלית). 13 (6): 1267–1275. Bibcode:2017SMat...13.1267H. doi:10.1039/C6SM02643E. ISSN 1744-683X. PMID 28106203.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מתאם עצמי41373025Q786970

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=מתאם_עצמי&oldid=3367775"