אינדקס ליפוף

לעקומה הזאת יש אינדקס ליפוף שתיים מסביב לנקודה p.

במתמטיקה, אינדקס הליפוף של עקומה סגורה במישור מסביב לנקודה נתונה היא המספר השלם המייצג את מספר הפעמים שהעקומה מסתובבת נגד כיוון השעון סביב הנקודה. מספר הליפוף תלוי באוריינטציה של העקומה, והיא שלילית אם העקומה מסתובבת מסביב לנקודה בכיוון השעון.

אינדקסי ליפוף הם אובייקטים בסיסיים בתחום הטופולוגיה האלגברית, והם משחקים תפקיד חשוב באנליזה וקטורית, אנליזה מרוכבת, טופולוגיה גאומטרית, גאומטריה דיפרנציאלית, ובפיזיקה, לרבות תורת המיתרים.

תיאור אינטואיטיבי

אובייקט שנע סביב לעקומה האדומה עושה שני סיבובים נגד כיוון השעון סביב לאדם שבראשית.

נניח שנתונה לנו עקומה סגורה במישור, עם אוריינטציה. אנחנו יכולים לדמיין את העקומה כמסלול תנועה של אובייקט, כאשר האוריינטציה מראה לנו את הכיוון שבו האובייקט נע. במקרה כזה, אינדקס הליפוף של העקומה שווה לכמות הסיבובים הכוללת שהאובייקט עושה סביב לראשית נגד כיוון השעון.

כאשר סופרים את כמות הסיבובים הכוללת, תנועה כנגד כיוון השעות נחשבת לחיובית, לעומת תנועה בכיוון השעון, שנחשבת כשלילית. לדוגמה, אם האובייקט קודם כל מסתובב סביב הראשית ארבעה פעמים כנגד כיוון השעון, ולאחר מכן מסתובב בכיוון השעון פעם אחת, אז אינדקס הסיבוב הכולל של העקומה הוא שלוש.

בעזרת הרעיונות האלו, ניתן להסיק כי עקומה שלא מסתובבת כלל סביב לראשית היא בעלת אינדקס ליפוף אפס, ולעומת זאת, עקומה שמסתובבת בכיוון השעון סביב לראשית היא בעלת אינדקס סיבוב שלילי. לכן, אינדקס הסיבוב של עקומה יכול להיות כל מספר שלם. התמונות הבאות מראות עקומות עם אינדקסי סיבוב בין 2- עד 3:

				$\cdots$
	0	1−	2−
$\cdots$
	3	2	1

הגדרה פורמלית

ניתן להגדיר עקומה במישור על ידי הצגה פרמטרית:

$x=x(t)\quad {\text{and}}\quad y=y(t)\qquad {\text{for }}0\leq t\leq 1$

אם נחשוב על הפרמטר t כהזמן, אז המשוואות האלו מתארות את התנועה של אובייקט במישור בין הזמן t = 0 והזמן t = 1. המסלול של התנועה הזאת היא עקומה כל עוד הפונקציות (x(t ו-(y(t הן רציפות. העקומה הזאת היא סגורה כל עוד התנועה של האובייקט היא זהה כאשר t = 0 ו- t = 1.

אנחנו מגדירים את אינדקס הליפוף של עקומה כזאת בעזרת קואורדינטות פולריות. בהנחה שהעקומה אינה עוברת בראשית, ניתן לכתוב מחדש את המשוואות הפרמטריות בצורה פולרית:

$r=r(t)\quad \mathrm {and} \quad \theta =\theta (t)\qquad \mathrm {for} \ 0\leq t\leq 1$

הפונקציות (θ(t ו-(r(t צריכות להיות רציפות, עם r > 0. מכיוון שהנקודות בהתחלה ובסוף הן זהות, (θ(0 ו-(θ(1 צריכות להבדל בכפולה שלמה של 2π. המספר השלם הזה הוא אינדקס הליפוף:

$\mathrm {winding\ number} ={\frac {\theta (1)=\theta (0)}{2\pi }}$

זה מגדיר את אינדקס הליפוף של עקומה מסביב לראשית. בעזרת הזזה של מערכת הצירים, ניתן להרחיב את ההגדרה הזו לכלול מספרי ליפוף מסביב לכל נקודה p.

הגדרות חלופיות

אינדקס הליפוף מוגדר לעיתים קרובות בדרכים שונות בחלקים שונים במתמטיקה. כל ההגדרות להלן הן שקולות לזו שניתנת לעיל:

מספור אלכסנדר

כלל קומבינטורי פשוט להגדרת אינדקס הליפוף הוצע על ידי אוגוסט פרדיננד מוביוס בשנת 1865, ושוב באופן בלתי תלוי על ידי ג'יימס ואדל אלכסנדר ה-2 בשנת 1928. כל עקומה מחלקת את המישור לכמות כלשהי של תחומים קשירים, כך שאחת מהן לא חסומה. אינדקסי הליפוף סביב שתי נקודות באותו התחום הם שווים. אינדקס הליפוף סביב לכל נקודה בתחום הלא חסום הוא אפס. לבסוף, אינדקסי הליפוף לכל שני תחומים סמוכים מובדלים בדיוק ב-1, כאשר התחום עם אינדקס הליפוף הגדול יותר מופיע בצד שמאל של העקומה (ביחס לכיוון התנועה במהלך העקומה).

גאומטריה דיפרנציאלית

בגאומטריה דיפרנציאלית, מניחים לרוב שמשוואות פרמטריות הן גזירות (או לפחות גזירות למקוטעין). במקרה כזה, הארגומנט θ קשור לקואורדינטות x ו-y עם המשוואה:

$d\theta ={\frac {1}{r^{2}}}\left(x\,dy-y\,dx\right)\quad {\text{where }}r^{2}=x^{2}+y^{2}$

מהמשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי ואינטגרלי, השינוי הכולל של θ שווה לאינטגרל של dθ. לכן, אנחנו יכולים לבטא את אינדקס הליפוף של עקומה גזירה בעזרת האינטגרל המסילתי:

${\text{winding number}}={\frac {1}{2\pi }}\oint _{C}\,{\frac {x}{r^{2}}}\,dy-{\frac {y}{r^{2}}}\,dx$

חד-התבנית dθ (המוגדרת על המישור ללא הראשית) היא תבנית סגורה אבל לא מדויקת, והיא יוצרת את חבורת קוהומולוגיית דה-רהם הראשונה של המישור ללא הראשית. בפרט, אם ω היא חד-תבנית סגורה דיפרנציאבילית המוגדרת על המשלים לראשית, אזי האינטגרל של ω על מסילות סגורות נותן כפולה של אינדקס הליפוף.

אנליזה מרוכבת

מספרי ליפוף משחקים תפקיד חשוב באנליזה מרוכבת (ראו את משפט השאריות). באנליזה מרוכבת, ניתן לבטא את אינדקס הליפוף של עקומה סגורה $\gamma$ במישור המרוכב בעזרת הקואורדינטות המרוכבות z = x + iy. בפרט, אם נכתוב z = re^iθ, אזי:

$dz=e^{i\theta }dr+ire^{i\theta }d\theta \!\,$

ולכן

${\frac {dz}{z}}\;=\;{\frac {dr}{r}}+i\,d\theta \;=\;d[\ln r]+i\,d\theta$

השינוי הכולל ב-(ln(r הוא אפס, ולכן האינטגרל של dz ⁄ z שווה ל-i כפול השינוי הכולל ב-θ. לכן, אינדקס הליפוף של עקומה סגורה $\gamma$ סביב לראשית ניתנת על ידי הביטוי

${\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z}}$

באופן יותר כללי, אם $\gamma$ היא עקומה סגורה הנתונה בפרמטריזציה עבור $t\in [\alpha ,\beta ]$, אינדקס הליפוף של $\gamma$ סביב ל-$z$, הידוע גם כהאינדקס של $\gamma$ ביחס ל-$z$, מוגדרת עבור כל מספר מרוכב $z\notin \gamma ([\alpha ,\beta ])$, ושווה לביטוי

$\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\alpha }^{\beta }{\frac {\gamma '(t)}{\gamma (t)-z}}dt$

זה מקרה פרטי של נוסחת האינטגרל של קושי.

חלק מהתכונות הבסיסיות של אינדקס ליפוף במישור המרוכב נתונות על ידי המשפט הבא:

משפט. תהי $\gamma :[\alpha ,\beta ]\rightarrow \mathbb {C}$ מסילה סגורה ויהיה $\Omega$ המשלים של התמונה של $\gamma$, כלומר, $\Omega :=\mathbb {C} \setminus \gamma ([\alpha ,\beta ])$. אזי אינדקס הליפוף של $z$ ביחס ל-$\gamma$, הוא:

$\mathrm {Ind} _{\gamma }:\Omega \to \mathbb {C} ,\ \ z\mapsto {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {d\zeta }{\zeta -z}}$

בנוסף, מתקיים כי:

(א) האינדקס הוא מספר שלם. כלומר, $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)\in \mathbb {Z}$ לכל $z\in \Omega$.

(ב) האינדקס קבוע על כל רכיב קשירות (תת-קבוצה קשירה מקסימלית) של $\Omega$.

(ג) האינדקס הוא אפס אם $z$ נמצא ברכיב הלא חסום של $\Omega$.

כמסקנה מיידית של המשפט, ניתן לקבל את אינדקס הליפוף של עקומה מעגלית $\gamma$ סביב נקודה $z$. כמצופה, אינדקס הליפוף סופר את כמות הפעמים ש-$\gamma$ מסתובב סביב $z$ (נגד כיוון השעון).

מסקנה. אם $\gamma$ היא העקומה המוגדרת על ידי $\gamma (t)=a+re^{int},\ \ 0\leq t\leq 2\pi ,\ \ n\in \mathbb {Z}$, אזי מתקיים: $\mathrm {Ind} _{\gamma }(z)={\begin{cases}n,&|z-a|<r;\\0,&|z-a|>r.\end{cases}}$.

טופולוגיה

בטופולוגיה, אינדקס הליפוף הוא מונח חלופי לדרגה של העתקה רציפה. בפיזיקה, אינדקסי ליפוף לרוב נקראים מספרים קוונטים טופולוגיים. בשני המקרים, ההגדרה מבוססת על אותו הרעיון.

לדוגמה לעיל של עקומה המסתובבת סביב נקודה יש פירוש טופולוגי פשוט. המשלים של נקודה במישור שקול הומוטופית למעגל, כך שצריך להתייחס רק לפונקציות מהמעגל לעצמו. ניתן להראות שכל מפה כזאת היא הומוטופית לאחת המפות הסטנדרטיות $S^{1}\to S^{1}:s\mapsto s^{n}$, כאשר כפל במעגל מוגדר עם הזיהוי שלו עם מעגל היחידה המרוכב. קבוצת מחלקות ההומוטופיה מהמעגל למרחב טופולוגי יוצרים חבורה, שנקראת חבורת ההומוטופיה הראשונה, או החבורה היסודית, של המרחב. החבורה היסודית הראשונה של המעגל הוא קבוצת המספרים השלמים, Z, ואינדקס הליפוף של עקומה מרוכבת מזוההת עם מחלקת ההומוטופיה שלה.

פונקציות מה-3-ספירה לעצמה לפעמים גם כן מזוהות עם מספר שלם, שגם כן לפעמים נקרא אינדקס ליפוף, ולפעמים מחלקת פונטריאגין.

מצולעים

במצולעים, אינדקס הליפוף נקרא לפעמים צפיפות המצולע. עבור מצולעים קמורים, ובאופן יותר כללי, עבור מצולעים פשוטים (שלא חותכים את עצמם) הצפיפות היא 1, ממשפט ז'ורדן על עקומות. בניגוד לכך, עבור הכוכב המשוכלל {p/q}, הצפיפות שווה ל-q.

הגבול של האניאגרמם המשוכלל {9/4} מסתובבת סביב מרכזה 4 פעמים, ולכן הצפיפות שלה היא 4.

אינדקס סיבוב

ניתן גם לחשוב על אינדקס הליפוף של עקומה ביחס למשיק לעקומה עצמה. כעקומה ביחס לזמן, הדבר יתן את אינדקס הליפוף ביחס לראשית של ווקטור המהירות. במקרה של הדוגמה המצוירת בהתחלה, אינדקס הסיבוב יהיה 3, מכיוון שסופרים גם כן את הלולאה הקטנה.

זה מוגדר רק עבור עקומות שהן תמונות של אימרסיה (כלומר, עבור עקומות גזירות עם נגזרת שאף פעם לא מתאפסת), והוא שווה למעלה של מפת גאוס המתאים לעקומה.

זה נקרא אינדקס הסיבוב, והוא ניתן לחישוב בעזרת העקמומיות הכוללת חלקי 2π.

אינדקס ליפוף ומשוואות הייזנברג על פרומגנטיות

לבסוף, שימו לב כי אינדקס הליפוף קשור למשוואות הפרומגנטיות הרציפות של הייזנברג ה-(1 + 2)-ממדיות, ולהרחבות האינטגרביליות שלו (כגון משוואת Ishimori). הפתרונות של המשוואה הזו מתוארות על ידי אינדקס הליפוף (המספר הקוונטי הטופולוגי).

ראו גם

• עקרון הארגומנט
• משפט השאריות