גז בוז

גז בוז אידיאלי הוא המקבילה במכניקת הקוונטים (ביחד עם גז פרמי) למושג בפיזיקה הקלאסית של גז אידיאלי. הוא מורכב מבוזונים, אשר להם ספין שלם, ומציית להתפלגות בוז-איינשטיין. המכניקה הסטטיסטית של הבוזונים פותחה על ידי סאטינדרה נאת בוז עבור פוטונים (ראו גם: גז פוטונים) והורחב לחלקיקים בעלי מסה על ידי אלברט איינשטיין, אשר הבין כי גז אידיאלי המורכב מבוזונים, בניגוד לגז אידיאלי קלאסי, יתעבה בטמפרטורות נמוכות מספיק. עיבוי זה נקרא עיבוי בוז-איינשטיין.

גז אידיאלי הוא מודל פיזיקלי עבור התנהגות חומר במצב צבירה של גז המניח שאין אינטראקציה בין חלקיקי הגז. באמצעות שיקולים קלאסיים ניתן לפתור את תופעת הגז האידיאלי באופן מקורב בלבד. ניתוח מעמיק יותר במסגרת תורת הקוונטים יניב תוצאות מדויקות יותר אשר תקפות בתחום טמפרטורות רחב יותר. בטמפרטורות גבוהות מספיק יתלכדו הפתרונות הקלאסיים עם אלו הקוונטים.

על פי מכניקת הקוונטים כל החלקיקים נחלקים לשני סוגים: בוזונים ופרמיונים, לפיכך גז המורכב מפרמיונים יקרא גז פרמי וגז המורכב מבוזונים ייקרא גז בוז.

כל חלקיק גז בודד, יוכל להימצא במצבים קוונטים שונים, כאשר להימצאותו במצב קוונטי מסוים ישנה הסתברות חיובית סופית, כך שסכום ההסתברויות לכל המצבים גם יחד שווה לאחד.

פרמיון הוא חלקיק בעל ספין חצי, אשר מציית לעקרון האיסור של פאולי לפיו אסור לשניים ממנו לאכלס את אותו המצב קוונטי. בוזון הוא חלקיק בעל ספין שלם, אשר אינו מציית לכלל איסור זה ולכן אין מגבלה למספר הבוזונים שיוכלו לאכלס את אותו המצב הקוונטי.

במקרה של גז אידיאלי קלאסי, הטמפרטורה גבוהה דיו כך שלחלקיקים ישנה די אנרגיה כדי לאכלס מצבים קוונטים רבים עד כדי כך שההסתברות להימצאות החלקיק בכל אחד מן המצבים הקוונטים השונים קטנה כך שההסתברות לאכלוס מצב יחיד כלשהו על ידי חלקיק אחד לפחות קטנה משמעותית מאחד. מכאן ניתן להבין שבמצב זה לא יהיה הבדל בין גז בוזונים לגז פרמיונים, שכן מספר המקרים בהן עיקרון האיסור של פאולי מונע משני חלקיקים לאכלוס מצב קוונטי משותף זניח במילא.

ככל שהטמפרטורה יורדת, החלקיקים יאבדו אנרגיה ויאכלסו מצבים קוונטים בעלי אנרגיה נמוכה יותר ויותר. כאשר הטמפרטורה תהיה נמוכה מספיק, האכלוס הממוצע של כל מצבים קוונטים נמוכים (בעלי אנרגיה קטנה) יהיה גבוה מספיק כדי שההתנהגות הקוונטית של בוזונים ופרמיונים תהיה הדומיננטית ובגבול זה גז פרמי וגז בוז יתנהגו באופן שונה מהגז הקלאסי. למעשה בגבול זה של גז בוז יוכל להתקיים מעבר פאזה מסדר שני שנקרא עיבוי בוז-איינשטיין, שיביא בתנאים מסוימים למצב הקרוי נוזל-על.

ישנם ניתוחים מעמיקים יותר של גז המורכב מבוזונים, אשר אינם מניחים חוסר אינטראקציה מוחלט בין החלקיקים, אך ניתוחים אלו הם מעבר לערך זה.

התפלגות בוז-איינשטיין

פיתוח מתמטי של התפלגות בוז-איינשטיין

המטרה היא פיתוח פונקציית החלוקה הגראנד קנונית של מערכת בהנחה שהיא מורכבת מבוזונים שקיים בה מצב קוונטי מסוים זמין אחד בלבד וכל חלקיק בו נושא את אותה האנרגיה (תקרא המערכת המצומצת). חשוב לציין שלמרות שהפיתוח נעשה באנסבל הגראנד קנוני, התוצאות הסופיות יהיו תקפות באופן כללי, כך שלדוגמה ניתן יהיה למצוא את מספר החלקיקים כפונקציה של הפרמטרים האחרים. פונקציית החלוקה של המערכת תהיה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi=\sum_n e^{-n\beta(\epsilon - \mu)}=\frac 1 {1-e^{-n\beta(\epsilon - \mu)}}} . כאשר המעבר האחרון היה באמצעות סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת. מכאן חישוב מספר החלקיקים במערכת: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle N \right\rangle=\frac {\sum_{n=0}^{\infty} {ne^{-n\beta(\epsilon-\mu)}}} {\sum_{n=0}^{\infty}= {e^{-n\beta(\epsilon-\mu)}}}=-\frac 1 \beta\frac {\partial\ln \xi } {\partial\epsilon}=\frac {1} {e^{\beta(\epsilon-\mu)}-1}} גבולות הסכום הם עד אינסוף מכייוון שבוזונים אינם כפופים לעיקרון האיסור של פאולי, במידה ואלו היו פרמיונים הגבול היה עד לאחד במקום.

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

התפלגות בוז-איינשטיין עבור טמפרטורות שונות

התפלגות בוז-איינשטיין מתארת את האכלוס הממוצע של מצב קוונטי עבור גז בוז.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\epsilon, \tau, \mu ) = \frac{1}{\exp{ \left( \frac{\epsilon - \mu} {\tau} \right)} - 1 }}

כאן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} היא האכלוס הממוצע עבור מצב קוונטי בעל אנרגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mu} הוא הפוטנציאל הכימי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau} הוא הטמפרטורה (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau=k_BT} ), כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T} היא הטמפרטורה ואילו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k_B} הוא קבוע בולצן.

מהדרישה שפונקציית החלוקה תהיה אי שלילית (אין משמעות פיזיקלית לאכלוס מצב קוונטי במספר שלילי של חלקיקים), ניתן לקבל אילוץ על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} . הפוטנציאל הכימי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} חייב להיות קטן יותר מאנרגיית המצב הנמוך ביותר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu<\epsilon_{min}} . לרוב מקובל להגדיר אנרגיה זו כאפס ולכן הפוטנציאל הכימי יאולץ להיות שלילי.

קובץ:התפלגות בוז-אינשטיין ופרמי-דיראק בגבולות שונים.png

התפלגות בוז-איינשטיין ופרמי-דיראק בטמפרטורות שונות בסולם לוגריתמי. ניתן לראות כי אף על פי כן שבטמפרטורות נמוכות הן בעלות התנהגות שונה בטמפרטורות גבוהות הן מתלכדות.

בטמפרטורות גבוהות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp\bigg(\frac{\epsilon-\mu}{\tau}\bigg)\ll1} , לכן ניתן לקרב את פונקציית החלוקה ל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\epsilon, \tau, \mu ) \approx\exp\bigg(-\frac{\epsilon-\mu}{\tau}\bigg) }

קירוב זה יניב את התוצאות המוכרות של גז אידיאלי קלאסי.

חישוב גדלים תרמודינמיים

באמצעות התפלגות בוז-איינשטיין ניתן לחשב ישירות ערכי תצפית ממוצעים שונים של המערכת, לדוגמה:

$\left\langle N\right\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }f(\epsilon _{i},\tau ,\mu )$, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle U \right\rangle=\sum_{i=1}^{\infty}\epsilon_i f(\epsilon_i, \tau ,\mu)}

או גודל כללי אחר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle X \right\rangle=\sum_{i=1}^{\infty}X(\epsilon_i) f(\epsilon_i, \tau ,\mu)}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} הוא מספר החלקיקים במערכת, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U} היא האנרגיה הכוללת של המערכת ואילו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} הוא גודל כללי אותו נרצה לחשב.

חישוב סכומים כאלה אינו משימה פשוטה, ניתן לבצע קירוב באמצעות החלפת הסכום באינטגרל כאשר האינטגרל יכיל איבר נוסף - פונקציית צפיפות המצבים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(\epsilon)} . החלפות בין אינטגרל לסכום הן דבר שכיח בחישובים מסוג זה, ניתן ללמוד על ההחלפה ההפוכה לדוגמה, של אינטגרל, לסכום כאן.

באמצעות פונקציית צפיפות המצבים ניתן לקרב את הגדלים התרמודינמיים באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle N \right\rangle=\int_{\epsilon=0}^{\infty}f(\epsilon, \tau ,\mu)D(\epsilon)d\epsilon} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle U \right\rangle=\int_{\epsilon=0}^{\infty}\epsilon f(\epsilon, \tau ,\mu)D(\epsilon)d\epsilon}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle X \right\rangle=\int_{\epsilon=0}^{\infty}X(\epsilon) f(\epsilon, \tau ,\mu)D(\epsilon)d\epsilon}

צפיפות המצבים תלויה בהגדרת הבעיה הספציפית, נתייחס תחילה למקרה השכיח ביותר, גז בשלושה ממדים, כאשר לחלקיקיו יחס תנע-האנרגיה הבא :הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon= \frac{p^2}{2m}} .

ל 3D יכלל הפיתוח עצמו, לממדים האחרים יינתנו התוצאות הסופיות אשר ניתנות לפיתוח באופן דומה.

צפיפות מצבים ב3D

כדי לפתור את הבעיה, ניתן להניח תנאי שפה מסוימים אשר לא ישפיעו על התוצאות הסופיות. לכן נניח שהגז נמצא בקופסה בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V} . ניתן לפתור את בעיית חלקיק בקופסה עבור חלקיק יחיד ולקבל את רמות האנרגיה המתאימות לו. מכיוון שאין אינטראקציה בין החלקיקים, אנרגיית הגז כולו תהיה סכום על האנרגיות של החלקיקים הבודדים. מפתרון בעיית החלקיק בקופסה נקבל את הרמות הבאות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_{n_xn_yn_z}=\frac{\hbar ^2}{2m}\Bigl(\frac {\pi ^2} {V^{2/3}}\Bigl)^2(n_x^2+n_y^2+n_z^2)=\frac{\hbar ^2}{2m}\Bigl(\frac {\pi ^2} {V^{2/3}}\Bigl)^2n^2}

מכאן שישנו ניוון בבעיה - ישנם מספר קומבינציות של $n_{x},n_{y},n_{z}$ עבורן לחלקיק אנרגיה זהה.

נגדיר פונקציית עזר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\epsilon)} שערכה יהיה מספר המצבים עד לרמת אנרגיה מסוימת, אותה נבנה באמצעות סכימת שטח במרחב הפאזה על השמינית המרחב החיובי בקוארדינטות כדוריות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\epsilon)=(2S+1)\frac 1 8 \int_{\theta=0}^{\pi} d\theta \sin(\theta) \int_{\phi=0}^{2\pi} d\phi\int_{n=0}^{n_{\epsilon}}n^2 dn=(2S+1) \frac \pi 6 n_{\epsilon}^3}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} הוא ספין החלקיק, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_\epsilon} הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} שמתאים להפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon} , אשר ניתן לחשב אותו מהקשר למעלה כך שמתקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(\epsilon)=(2S+1)\frac V {6\pi^2\hbar^3}(2m\epsilon)^{3/2}}

מכאן נוכל למצוא את פונקציית צפיפות המצבים, כשינוי (נגזרת) במספר המצבים הכולל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(\epsilon)=g'(\epsilon) =(2S+1) \frac{Vm^{3/2}}{\sqrt2\pi^2\hbar^3} {6\pi^2 \hbar^3}\times\epsilon^\frac{1}{2}}

ניתן לראות שצפיפות המצבים עולה עם האנרגיה.

נשים לב שפונקציה צפיפות המצבים היא אפס באנרגיה היסוד, מכאן שקירוב זה טוב כל עוד אנו נמצאים במצב אכלוס דליל בלבד (אכלוס ממוצע של כל מצב קוונטי קטן מהרבה מאחד). למעשה תוצאות החישוב אשר יתבססו על פונקציה זו יתחשבו בחלקיקים המעוררים בלבד (אלו שאינם במצב היסוד).

צפיפות מצבים ב2D

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(\epsilon)=(2S+1) \frac {mA} {2\pi\hbar^2}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא השטח שמכיל את הגז בתוכו.

ניתן לראות שצפיפות המצבים קבועה ואינה משתנה עם האנרגיה.

בשני ממדים קיימת היתכנות של חלקיק שנקרא אניון שאינו בוזן ואינו פרמיון, להרחב ניתן לקרוא כאן.

צפיפות מצבים ב1D

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D(\epsilon)=(2S+1) \frac {mL} {\sqrt2\pi\hbar} \frac {1} \sqrt\epsilon}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} הוא אורך בו הגז מוכל.

ניתן לראות שצפיפות המצבים קטנה עם גדילת האנרגיה.

נשים לב שפונקציה צפיפות המצבים מתבדרת באנרגיית היסוד, שוב הסיבה לכך היא חוסר הדיוק במעבר מסכימה בדידה לאינטגרל.

מקרים נוספים

ישנם מקרים נוספים עם יחסי תנע אנרגיה - יחסי נפיצה אחרים.

המקרה הנפוץ הוא הכללה של יחס תנע-אנרגיה, ליחס תנע אנרגיה יחסותי במסגרת תורת היחסות הפרטית:

$\epsilon ^{2}=p^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4}$

אשר בגבול הקלאסי יקרוס ליחס התנע-אנרגיה שהוזכר לעיל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon= \frac{p^2}{2m}} .

בגבול ההיפר-יחסותי יקרוס ל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon= c|p|} , בגבול זה נקבל גז בוזונים אולטרה-יחסותי.

גז בוזונים מנוון

בטמפרטורות גבוהות התפלגות בוז איינשטיין תיצור אכלוס דליל - מספר החלקיקים הממוצע בכל מצב קוונטי קטן משמעותית מאחד. במצב זה כמעט ואין השפעה לכך שהגז מורכב מבוזונים - חלקיקים אשר אינם מצייתים לעיקרון האיסור של פאולי, לכן בתחום זה גז הבוזונים יתנהג כגז אידיאלי קלאסי. אך בטמפרטורות נמוכות ניתן לראות (בגרף לעיל) שאין זהו המצב. בגבול זה מספר גדול מן החלקיקים יאכלס את מצב היסוד של האנרגיה. על כן נראה פיתוח בתחום רחב של טמפרטורות, אשר הן לתחום בו הגז דליל (קלאסי) והן לתחום הקוונטי.

ניתוח תרמודינמי של גז בוזונים מנוון באנסבל הגראנד קנוני

פיתוח מתמטי של פונקציית החלוקה

המטרה היא פיתוח פונקציית החלוקה הגראנד קנונית של מערכת בהנחה שהמערכת מורכבת מבוזונים ושקיימים בה אינסוף מצבים קוונטים כך שהאכלוס חלקיק ברמת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} עולה אנרגיה של של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon_i} , כאשר רמה זו מאוכלסת בהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_i} חלקיקים (תקרא המערכת המורחבת). חשוב לציין שלמרות שהפיתוח נעשה באנסבל הגראנד קנוני, התוצאות הסופיות יהיו תקפות באופן כללי, כך שלדוגמה ניתן יהיה למצוא את מספר החלקיקים כפונקציה של הפרמטרים האחרים. מהפיתוח שנעשה להתפלגות בוז-איינשטיין אנו יודעים שפונקציית החלוקה עבור מצב קוונטי מסוים (המערכת המצומצת) תהיה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi_i=\frac 1 {1-e^{-n\beta(\epsilon_i - \mu)}}} מכאן שעבור המערכת המורחבת (כלל מצבי האנרגיה), פונקציית החלוקה תהיה מכפלה של פונקציות החלוקה עבור המערכת המצומצת. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle \prod_{i} \xi_i \displaystyle} כאשר המכפלה היא על כל מצבי האנרגיה והספין האפשריים. מכיוון שחלקיק הגז בעלי ספין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} כללי, ניתן להתייחס במערכת המורחבת לכל רמת אנרגיה כ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2S+1)} מערכות מצומצמות בעלות אותה האנרגיה. על כן נצטרך לכפול אותן זו בזו. פונקציית החלוקה של המערכת המורחבת תהיה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi = \textstyle \prod_{i} \xi_i^{2S+1}}

באנסבל הגראנד קנוני, המשתנים הבלתי תלויים הם, הנפח, הטמפרטורה והפוטנציאל הכימי.

עבור גז בוזונים בעלי ספין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S } ומסת חלקיק הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m} מתקיים:

פונקציית החלוקה של גז בוזונים באנסבל הגראד קנוני היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \xi=\prod_{i=1}^\infty\frac{1}{\Biggl(1-\exp(\beta(\epsilon_i-\mu))\biggr)^{2S+1}}} .

ממנה ניתן לקבל את הפוטנציאל הפוטנציאל הגראנד קנוני על ידי הקשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Phi_G=-\tau\ln\xi} .

התנהגות שתי פונקציות הפולילוגריתם הקיימות במשוואה, טמפרטורות נמוכות מתאימות לגבול בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z\equiv\exp(\beta\mu)} שואף לאחד ואילו טמפרטורות גבוהות מתאימות להפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} שואף לאפס.

ומכאן את מספר החלקיקים והאנרגיה הכוללת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=\frac{(2S+1)V}{\lambda_{th}^3}Li_{\frac32}(z)}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U=\frac32N\tau\frac{Li_{\frac52}(z)}{Li_{\frac32}(z)} }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta \equiv \frac{1}{\tau}} ן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z \equiv \exp(\beta\mu)} הוגדרו לצורכי פישוט בלבד.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Li(z)} היא פונקציית הפולילוגריתם, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_{th}\equiv \frac h{\sqrt{2\pi m \tau}}} הוא אורך הגל הקוונטי האופייני לחלקיקים אלו.

ניתן לראות בגרף משמאל כי בטמפרטורות נמוכות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{\tau\rightarrow0}{\frac{Li_{\frac52}(z)}{Li_{\frac32}(z)}}=1 } ומכאן בטמפרטורות אלו נקבל את קשר האנרגיה של הגז הקלאסי:

$U={\frac {3}{2}}N\tau$

בטמפרטורות נמוכות ניתן לבצע קירוב של הפוטנציאל הכימי ועל כן לפשט את הביטויים למספר החלקיקים ולאנרגיה, קירוב זה יפורט ב"גז בוז בטמפרטורות נמוכות".

גז בוז בטמפרטורות נמוכות - עיבוי בוז איינשטיין ונוזליות על

פיתוח לטמפרטורות נמוכות ייעשה באמצעות שיקולים פיזיקליים על התפלגות בוז איינשטיין:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\epsilon, \tau, \mu ) = \frac{1}{\exp{ \left( \frac{\epsilon - \mu} {\tau} \right)} - 1 }}

ניתן מיד לראות שכדי שההתפלגות תהיה חיובית, על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} להיות קטן מאנרגיית מצב היסוד, או בהגדרה שלנו בה אנרגיית מצב היסוד היא אפס, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} חייב להיות מספר אי חיובי.

בגבול בו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau\rightarrow0} נדרוש שכלל החלקיקים יהיו במצב היסוד:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \textstyle \lim_{\tau \to 0} \displaystyle\frac{1}{\exp{ \left(- \frac{\mu} {\tau} \right)} - 1 }=N}

באמצעות פיתוח טיילור של האקספוננט לסדר ראשון ניתן לקרב את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu \approx -\tau/N}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} הוא מספר חלקיקי הגז.

מכאן ניתן לראות שעבור כמות חלקיקים גדולה הפוטנציאל הכימי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} שאוף לאפס. לכן בטמפרטורות נמוכות ניתן לחשב גדלים תרמודינמיים באופן פשוט יותר וללא פונקציית הפולילוגריתם.

בטמפרטורות נמוכות, בבואנו לחשב גדלים תרמודינמיים באמצעות הקשר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\langle X \right\rangle=\int_{\epsilon=0}^{\infty}X(\epsilon) f(\epsilon, \tau ,\mu)D(\epsilon)d\epsilon}

אשר נתקבל באמצעות קירוב הסכום הבדיד לרצף נתקל בבעיה שהוזכרה בפסקת "צפיפות המצבים" - פונקציית צפיפות המצבים תתן אפס לאנרגיית היסוד, אך בטמפרטורות נמוכות אכלוס רמה זה אינו דליל (מספר החלקיקים שם אינו ניתן להזנחה) ולמעשה הקירוב מאבד את תוקפו המקורי.

מכיוון שפונקציית צפיפות המצבים מתאפסת באנרגיית האפס, תוצאה זו בעצם סוכמת את כל החלקיקים למעט מצב האפס של האנרגיה, לכן נסמן אותם כספירת המצבים המעוררים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_e} .

ומכאן ניתן לחשב את מספר החלקיקים המעוררים הכולל.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle N_e \right \rangle=\int_{\epsilon=0}^{\infty}d\epsilon D(\epsilon){\frac{1}{\exp{ \left( \frac{\epsilon - \mu} {\tau} \right)} - 1 }}}

אנו מעוניינים בגבול בו הטמפרטורה קרובה לאפס, לכן נוכל להיעזר בפיתוח - הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu \approx -\tau/N} .

מכיוון שמדובר במספר חלקיקים גדול ניתן לקרב באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \exp{ \left( \frac{\epsilon - \mu} {\tau} \right)}\approx\exp{ \left( \frac{\epsilon } {\tau} \right)}\exp{ \left( -\frac{ \mu} {\tau} \right)}\approx\exp{ \left( \frac{\epsilon } {\tau} \right)}\exp{ \left( \frac{ 1} {N} \right)}\approx\exp{ \left( \frac{\epsilon} {\tau} \right)}}

כאשר פירוק האקספוננט הראשון לשניים נעשה באמצעות חוקי חזקות. האקספוננט עם הפוטנציאל הכימי שואף לאחד לכן נזניח אותו, נפתח את האקספוננט בטור טיילור ונוכל לקבל תוצאה לאינטגרל ללא פונקציית הפולילוגריתם, כך ניתן כמובן לחשב גדלים נוספים.

בטמפרטורות אלה תתכנה תופעות של עיבוי בוז איינשטיין ונוזליות-על. הקושי העיקרי ביצירת תופעות אלו הוא בידוד תרמי של הגז מסביבתו, שכן נדרשת טמפרטורה נמוכה מאוד ליצירתו, עבור הליום-4 טמפרטורה זו היא בערך 2.2 מעלות קלווין.

עיבוי בוז איינשטיין ונוזליות על

ערך מורחב – עיבוי בוז-איינשטיין

באמצעות הקירוב לעיל, ניתן לחשב את מספר החלקיקים ברמת היסוד בטמפרטורות נמוכות על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_{\epsilon_0}\approx \frac 1 {\exp{ \left( \frac{\epsilon} {\tau} \right)} -1}}

מכאן נראה כי ישנה התבדרות בטמפרטורות נמוכות, חלק גדול מן כלל החלקיקים שבמערכת יימצאו במצב היסוד בטמפרטורות נמוכות.

המחשת עיבוי בוז-איינשטיין. ככל שהטמפרטורה יורדת (משמאל לימין) ערכי הערכים במרחב הפאזה מצטמצמים לנקודה אחת.

באמצעות תנאי על מסספר החלקיקים המעוררים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left \langle N_e \right \rangle=\left \langle N \right \rangle} (גודל זה הוזכר לעיל, משמעותו התנאי היא שכאשר כלל החלקיקים נמצאים במצב המעורר הרי שמספר החלקיקים במצב היסוד זניח) ניתן לקבל תנאי על הטמפרטורה, אשר מתחתיה תופעה זו תקרה, טמפרטורה זו נקראת הטמפרטורה הקריטית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau_c = \frac{2\pi\hbar^2}{m}(\frac {N}{\xi(3/2)V})^\frac{3}{2}}

בגבול בו הטמפרטורה אפס, יהיו כל החלקיקים במצב היסוד, אך גם בטמפרטורות קרובות אליה מספר משמעותי של חלקיקים יאכלסו רמה זו. החלקיקים ימשיכו לאכלס מרחבית את כל הקופסה בה הם נמצאים אך יקרסו במרחב הפאזה (הסתכלות על תנע החלקיק במקום על מיקומו) לערך אחד. תופעה זו היא מעבר פאזה מסדר שני הגורם לתופעות עיבוי בוז-איינשטיין ונוזליות על.

דוגמה - הליום 4

כדי להמחיש את החישוב נתייחס כדוגמה להליום-4. אשר מורכב ממספר זוגי של חלקיקים בעלי ספין חצי שלם (פרמיונים) וככזה הוא עצמו בוזון (ספין שלם). על כן ניתן לקרב את התנהגותו באמצעות מודל גז הבוזונים. למעשה עקב זמינותו הגבוהה יחסית הפך הליום-4 לדוגמה מרכזית בעיבוי בוז איינשטיין ונוזליות על. יש לציין כי מידולו של נוזל ההליום כגז אידיאלי הוא קירוב בלבד, למעשה ניתן לבצע קירוב טוב יותר באמצעות מידולו כגז ואן דר ואלס.

בהצבת נתוני גז ההליום לפיתוח הנ"ל מתקבלת סקאלת אנרגיית הבעיה (ההפרש המינימלי בין רמות אנרגיה) אשר תתאים לטמפרטורה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\Delta\epsilon}{k_B}\approx1.8\times10^{-14} K} בעוד שהטמפרטורה הקריטית שנמצאה היא: $T_{c}\approx 3K$, זו כמובן טמפרטורה גבוהה בכמה סדרי גודל, אשר כבר בה מספר מאקרוסקופי של החלקיקים עובר למצב היסוד האנרגטי, ולכן מתרחש מעבר הפאזה בטמפרטורות גבוהות יחסית - זוהי הסיבה שניתן לקבל תופעות אלו במעבדה, למרות שלא ניתן כיום לקבל טמפרטורות שקרובות לסקאלת האנרגיה של הבעיה בשל הקרבה לאפס המוחלט.

ראו גם

• גז אידיאלי
• גז פרמי
• עיבוי בוז-איינשטיין
• גז אולטרה-יחסותי

לקריאה נוספת

• דוד ברגמן, פיזיקה תרמית, 1993, אוניברסיטת תל אביב, פרק 7.

• Charls Kittel & Herbert Kroemer, Thermal Physics, 1980, Second Edition, Chapter 7, מסת"ב 9780716710882
• Elliott H. Lieb, The Mathematics of the Bose Gas and its Condensation, 2000, מסת"ב 37643-73369
• Stephen J. Blundell & Katherine M. Blundell, Concepts in Thermal Physics, 2010, Second Edition, Chapters 29-30 מסת"ב 9780199562107

קישורים חיצוניים

• מהי התעבות בוז-איינשטיין והאם זהו מצב הצבירה החמישי, מכון דוידסון

• University of Amsterdam, ICTP, Quantum Gases Lectures, 1,2,3,4,5 YouTube

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

גז בוז32757866Q1143503