הקומפקטיפיקציה החד נקודתית

קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.

הבנייה

יהא $(X,\tau _{X})$ מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית $\infty \notin X$ ונגדיר $Y=X\cup \left\{\infty \right\}$ . נגדיר טופולוגיה $\tau _{Y}$ על $Y$ - קבוצה $U\subseteq Y$ תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

$U$ הייתה במקור קבוצה פתוחה ב- $X$ , כלומר $U\in \tau _{X}$ .
$\infty \in U$ וגם $Y\setminus U$ היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת נכונות הבנייה

נראה ש- $Y$ הוא מרחב קומפקטי. יהא ${\mathcal {U}}$ כיסוי פתוח של $Y$ . קיימת $V_{0}\in {\mathcal {U}}$ כך ש- $\infty \in V_{0}$ , ומשום ש- $V_{0}\in \tau _{Y}$ אזי $Y\setminus V_{0}$ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל- $Y\setminus V_{0}$ יש תת-כיסוי סופי $\left\{V_{1},...,V_{n}\right\}$ , לכן $\left\{V_{0},V_{1},...,V_{n}\right\}$ הוא כיסוי סופי של $Y$ ונקבל ש- $Y$ קומפקטית כנדרש.

תכונה נוספת של $Y$

ערכים מורחבים – מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף

אם נניח ש- $X$ הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם $Y$ הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות $x,y\in Y$ . אם $x,y\in X$ אזי משום ש- $X$ הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב- $X$ וזרות $U$ ו- $V$ כך ש- $x\in U$ ו- $y\in V$ ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב- $X$ היא קבוצה פתוחה ב- $Y$ . אחרת, $x=\infty$ או $y=\infty$ ונניח בלי הגבלת הכלליות כי $x=\infty$ . משום ש- $X$ הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת $V\in \tau _{X}$ (ובפרט, $V\in \tau _{Y}$ ) כך ש- $y\in V$ וש- ${\overline {V}}$ היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה $U:=Y\setminus \left\{{\overline {V}}\right\}$ היא קבוצה פתוחה ב- $Y$ . בנוסף, נשים לב כי $x=\infty \in U$ ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב- $Y$ וזרות כך ש- $x\in U$ ו- $y\in V$ ולכן נקבל ש- $Y$ הוא מרחב האוסדורף כנדרש.