הקומפקטיפיקציה החד נקודתית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

קומפקטיפיקציה חד נקודתית היא דרך לבנות מרחב טופולוגי קומפקטי ממרחב טופולוגי כלשהו על ידי הוספת נקודה בודדת למרחב.

הבנייה

יהא מרחב טופולוגי. ניקח איזושהי נקודה שרירותית ונגדיר . נגדיר טופולוגיה על - קבוצה תחשב פתוחה אם ורק אם מתקיים אחד מהתנאים הבאים:

  1. הייתה במקור קבוצה פתוחה ב-, כלומר .
  2. וגם היא קבוצה קומפקטית.

הוכחת נכונות הבנייה

נראה ש- הוא מרחב קומפקטי. יהא כיסוי פתוח של . קיימת כך ש-, ומשום ש- אזי היא קבוצה קומפקטית. אבל אז ל- יש תת-כיסוי סופי , לכן הוא כיסוי סופי של ונקבל ש- קומפקטית כנדרש.

תכונה נוספת של

Postscript-viewer-shaded.png ערכים מורחבים – מרחב קומפקטי מקומית, מרחב האוסדורף

אם נניח ש- הוא מרחב קומפקטי מקומית האוסדורף, אזי גם הוא מרחב האוסדורף. ואכן, ניקח שתי נקודות שונות . אם אזי משום ש- הוא מרחב האוסדורף, קיימות שתי קבוצות פתוחות ב- וזרות ו- כך ש- ו- ונסיים כי כל קבוצה פתוחה ב- היא קבוצה פתוחה ב-. אחרת, או ונניח בלי הגבלת הכלליות כי . משום ש- הוא מרחב קומפקטי מקומית, אזי קיימת (ובפרט, ) כך ש- וש- היא קבוצה קומפקטית. אבל אז הקבוצה היא קבוצה פתוחה ב-. בנוסף, נשים לב כי ובכך מצאנו זוג קבוצות פתוחות ב- וזרות כך ש- ו- ולכן נקבל ש- הוא מרחב האוסדורף כנדרש.

ראו גם

Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0